1. Сколькими можно разместить пять различных книг на полке?

2. Сколько трехзначных чисел с разными цифрами можно составить из цифр 0, 1, 3, 6, 7, 9?

3. Из десяти членов команды надо выбрать капитана и его заместителя. Сколькими это можно сделать?

4. Вычислите 3Р3 + 2А210 – С27.

5. Выпускники экономического института работают в трех различных компаниях: 17 человек – в банке, 23 – в фирме и 19 –в налоговой инспекции. Найдите вероятность того, что случайно встреченный выпускник работает в фирме.

6. Мишень представляет собой три круга (один внутри другого), радиусы которых равны 3, 7 и 8 см. Стрелок выстрелил не целясь и попал в мишень. Найдите вероятность того, что он попал в средний круг, но не попал в маленький круг.

Пусть х км/час - скорость мотоциклиста, у км/час -скорость велосипедиста.
До встречи  мотоциклист проехал 28х км, а велосипедист 28у км.
После встречи оставшийся путь мотоциклист проехал  за 28у/х минут, а велосипедист за 28х/у.
Зная, что мотоциклист был в пути на 42 мин меньше составим уравнение:
28х/у-28у/х=42
Обозначим дробь х/у новой переменной: х/у=z
Тогда уравнение примет вид: 28z-28/z=42
Приводим к общему знаменателю:
28z^2+42z-28=0
Решая квадратное уравнение получим корни: z1=-2 не подходит; z2=1/2. СЛедовательно, х/у=1/2. т.Е. скорость велосипедиста в 2 раза меньше скорости мотоциклиста. Отсюда имеем время движения велосипедиста из В в А равно 28+56=84минуты.
ответ: 84

Простыми преобразованиями эту задачу не решить, будем использовать арифметику остатков.

1-ое свойство, которое понадобится

То есть мы спокойно можем заменить каждое слагаемое сравнимым с ним по модулю m. То есть каждое слагаемое в нашей сумме будем рассматривать отдельно.

2-ое свойство, которое нам понадобится:

То есть довольно аналогичная вещь в произведении

На нашем примере все увидим

Находим остатки по модулю 31

Рассматриваем первое слагаемое. Просто двойка не годится, нам нужно найти ближайшее к 31 число, превосходящее его (иногда там в отрицательные числа залезаем, например, , но сейчас это не нужно), нам повезло, это 32

Учитываем, что , получаем

То есть остаток от деления первого слагаемое на 31 получился равным 10. Прекрасно, аналогично со вторым

Остаток 21, чудесно. Выполняем последний шаг.

То есть остаток от деления исходного числа на 31 равен 0, следовательно, исходное число делится на 31, что и требовалось доказать.