1. Найти стационарные точки функции а) f(x) = ех(2х−3); б) f(x) = х3−2х2+х+3. 2. Найти экстремумы функции а) f(x) = х3−2х2+х+3. 3. Найти интервалы возрастания и убывания функции f(x) = х3−2х2+х+3. 4. Найти наибольшее и наименьшее значение функции f(x) = х3−2х2+х+3 на [0;23]. 5. Построить график функции f(x) = х3−2х2+х+3на [-1: 2]. 6.Представьте число 42 в виде суммы трех положительных слагаемых таким образом, чтобы их произведение было наибольшим, а два слагаемых были пропорциональны числам 2 и 3.

1. Чтобы найти стационарные точки функции, необходимо приравнять производную функции к нулю и решить получившееся уравнение.

а) Сначала найдем производную функции f(x) = ех(2х−3):

f'(x) = (ех(2х−3))' = ex(2х−3) * (2х−3)'
= ex(2х−3) * 2
= 2ех(2х−3)

Теперь приравняем производную к нулю и решим уравнение:
2ех(2х−3) = 0

Поскольку экспонента ex всегда положительна, уравнение может быть равно нулю только тогда, когда 2х - 3 = 0. Решаем это уравнение:

2х - 3 = 0
2х = 3
х = 3/2

Таким образом, единственной стационарной точкой функции f(x) = ех(2х−3) является x = 3/2.

б) Теперь найдем стационарные точки функции f(x) = х3−2х2+х+3:

f'(x) = (х3−2х2+х+3)'
= 3х2 - 4х + 1

Приравниваем производную к нулю и решаем уравнение:
3х2 - 4х + 1 = 0

Такое уравнение можно решить факторизацией:
(3х - 1)(х - 1) = 0

Отсюда получаем две возможные стационарные точки: x = 1 и x = 1/3.

2. Чтобы найти экстремумы функции, необходимо проанализировать знак производной в окрестностях стационарных точек.

а) У нас есть только одна стационарная точка x = 3/2. Подставим эту точку в производную и проанализируем ее знак:

f'(3/2) = 2е^(2*3/2-3)
= 2е^0
= 2

Так как производная положительна (2 > 0), то точка x = 3/2 является точкой минимума функции.

б) У нас есть две стационарные точки: x = 1 и x = 1/3. Подставим эти точки в производную и проанализируем знак:

f'(1/3) = 3*(1/3)^2 - 4*(1/3) + 1
= 3/9 - 4/3 + 1
= 1/3 - 4/3 + 1
= -2/3

f'(1) = 3*(1)^2 - 4*(1) + 1
= 3 - 4 + 1
= 0

Так как f'(1/3) < 0 и f'(1) = 0, то точка x = 1/3 является точкой максимума функции, а точка x = 1 является точкой перегиба.

3. Чтобы найти интервалы возрастания и убывания функции, нужно анализировать знаки производной на различных участках.

а) Анализируем знак производной для функции f(x) = х3−2х2+х+3:

По результатам предыдущего шага знаем, что функция имеет минимум на точке x = 3/2. Возьмем произвольные точки в левой и правой окрестности этой точки и подставим их в производную:

f'(1) = 3 - 4 + 1 = 0
f'(2) = 3*(2)^2 - 4*(2) + 1 = 9 - 8 + 1 = 2

Из этого следует, что функция f(x) возрастает на интервале (-∞,1) и f(x) убывает на интервале (1,∞). Поскольку мы знаем, что функция имеет минимум на точке x = 3/2, это означает, что f(x) убывает до этой точки (начиная с -∞) и возрастает после этой точки (до +∞).

4. Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции на заданном интервале [0;23], нужно подставить границы интервала и стационарные точки в функцию и найти соответствующие значения.

f(0) = (0)^3−2(0)^2+(0)+3 = 3
f(23) = (23)^3−2(23)^2+(23)+3 = 5093
f(3/2) = (3/2)^3−2(3/2)^2+(3/2)+3 = 15/8

Таким образом, наибольшее значение функции на интервале [0;23] равно 5093, а наименьшее значение равно 3.

5. Чтобы построить график функции f(x) = х3−2х2+х+3 на интервале [-1;2], можно использовать следующий алгоритм:

a) Поставим оси координат и отметим на них значения x и f(x).
b) Выберем достаточное количество точек внутри интервала [-1;2]. Например, можно выбрать x = -1, -0.5, 0, 0.5, 1, 1.5, 2.
c) Подставим каждое значение x в функцию f(x) и найдем соответствующее значение f(x).
d) Построим график, соединяя точки полученные на предыдущем шаге прямыми линиями.

6. Чтобы представить число 42 в виде суммы трех положительных слагаемых таким образом, чтобы их произведение было наибольшим, а два слагаемых были пропорциональны числам 2 и 3, можно представить число 42 в виде суммы следующих трех слагаемых:

42 = 2x + 3x + y,

где x и y - положительные числа.

Теперь у нас есть два условия: x и y положительные и их произведение должно быть наибольшим. Чтобы найти значения x и y, решим следующую систему уравнений:

x + y = 42 - 2x - 3x,
x + y = 42 - 5x,
y = 42 - 5x - x,
y = 42 - 6x.

Таким образом, если мы выберем x = 2 и y = 42 - 6(2) = 42 - 12 = 30, то у нас будет сумма трех положительных слагаемых с произведением 2 * 3 * 30 = 180, которое будет наибольшим возможным произведением.