Двоє робітників виготовили 123 деталі. Перший робітник працював 7 годин, а другий 10 годин.Скільки деталей виготовляє за 1 годину кожний робітник, якщо 1 за 4 години зробив на 6 деталей, більше ніж другий за 5 годин?

∫dx/(2x+1)=(2/2)∫dx/(2x+1)=∫2dx/(2*(2x+1))=∫d(2x)/(2*(2x+1))=

∫d(2x+1)/(2*(2x+1))=(1/2)∫d(2x+1)/(2x+1)=(1/2)㏑I2x+1I+c

есть такое понятие - инвариантность интеграла. т.е. формула справедлива для любого выражения из области определения.

Обратимся к таблице интегралов. есть формула ∫du/u=㏑IuI+c, я подогнал под эту формулу исходный интеграл. в качестве u у нас выступает (2х+1), здесь еще есть одна заковыка - дифференциал от 2х, он равен

d(2x)=(2x)'*dx=2dx- прочтите эту формулу справа налево, видите, что я заменил 2dx формулой d(2x)? у меня не было в условии двойки, формулу эту создал искусственно, т.е. умножил на два и разделил на два, ничего не случилось? иными словами умножил на единицу.  но двойка в числителе, еще раз повторюсь, дала формулу d(2x), мы ее втянули под дифференциал, а двойка в знаменателе, так там и осталась до конца решения. Далее, чтобы использовать формулу ∫du/u=㏑IuI+c, надо, чтобы и под знаком дифференциала, и в знаменателе было одно и то же выражение. Поэтому втянули под дифференциал и единицу, получили, что 2*dx=d(2x)=d(2x+1), вопрос - а почему это можно делать? ответ прост - дифференциал функции - это производная функции (2x+1)'=2, умноженная на дифференциал аргумента dx, вот откуда эта формула взялась. Чтобы легко ориентироваться в данной теме, надо: знать  таблицу интегралов, но  на первом месте, разумеется, большое желание разобраться во всем этом самостоятельно.

2)∫dx/x²-налицо табличный интеграл, стоит только х² поднять в числитель, но уже с показателем -2, получаем ∫х⁻²dx=х⁻²⁺¹/(-2+1)+с=

х⁻¹/(-1)+с=(-1/х)+с

Резюме) здесь был использован табличный интеграл ∫uⁿdu=uⁿ⁺¹/(n+1)+c, и в качестве u  выступала х⁻²

УДАЧИ.

1. (x + 4)(x — 5) + (3 — x) = x² — 5x + 4x — 20 + 3 — x = x² — 2x — 17 = x² — 2x + 1² — 18 = (x — 1)² — 18;

2. 10xy — 5y + 5 * (x — y)² = 10xy — 5y + 5 * (x² — 2xy + y²) =
10xy — 5y + 5x² — 10xy + 5y² = 5x² + 5y² — 5y =
5 * (x² + y² — y) = 5 * (x² + y * (y — 1));

3. 49 — b² = 7² — b² = (7 — b)(7 + b);

4. x³ — 1 = x³ — 1³ = (x — 1)(x² + x + 1);

5. c⁴ — 196 = c⁴ — 14² = (c²)² — 14² = (c² — 14)(c² + 14);

6. m³ + n³ = (m + n)(m² — mn + n²);

7. (x + y + c)(x — y + c) =
x² — xy + xc + xy — y² + cy + xc — cy + c² =
x² — y² + c² — xy + xy — cy + cy + xc + xc =
x² — y² + c² + 2xc = (x² + 2xc + c²) — y² =
(x + c)² — y² = (x + c — y)(x + c + y);

8. (a + 1)³ — (a — 1)³ = (a + 1 — a + 1)((a + 1)² — (a + 1)(a — 1) + (a — 1)²) = 
2 * (a² + 2a + 1 — a² + 1 + a² — 2a + 1) = 
2 * (a² + a² — a² + 2a — 2a + 1 + 1 + 1) = 
2 * (a² + 3) = 2a² + 6;

9. (x — y) + b * (x — y)² + c * (x — y)³ =
(x — y)(1 + b * (x — y) + c * (x — y)²) =
(x — y)(1 + (x — y)(b + c * (x — y))) =
(x — y)(1 + (x — y)(b + xc — cy))