b=+-2
Объяснение:
Пусть x1=a-один из корней уравнения, тогда второй корень x2=0,4 *a (40% от первого)
Тогда ,по теореме Виета :сумма корней равна второму члену взятому с противоположным знаком .
x1+x2=a+0,4*a =4,2b^2 -1,4
1,4*a=4,2b^2-1,4 (делим на 1,4 обе части уравнения)
1) a=3b^2-1 →a^2=(3b^2-1)^2= 9b^4-6b^2+1
Так же, по теореме Виета: произведение корней равно последнему члену.
x1*x2=a*0,4a=11,6b^2+2
0,4*a^2=11,6*b^2+2 (делим на 0,4 обе части уравнения)
2)a^2=29b^2+5
Подставляя 1 в 2 имеем:
9b^4-6b^2+1=29b^2+5
9b^4-35b^2-4=0 (биквадратное уравнение)
b^2=t>=0
9t^2 -35t-4=0
D=(-35)^2 - 4*9*(-4) =1225 +144=1369
√D=√1369=37
t=(35+-37)/18
t1=(35+37)/18=72/18=4
t2=(35-37)/18 <0 (не подходит)
b^2=4
b=+-2
Cделаем проверку: (b^2=4)
x^2 -(4,2*4-1,4)*x +11.6*4 +2=0
x^2-15,4*x +48,4=0
По теореме Виета:
a+0,4a=15,4
1,4a=15,4
a=15,4/1,4=11
x1=11 x2=0,4*11=4,4
x1*x2=11*4,4=48,4 (верно)
ответ: b=+-2
Понятно, что a>=0.
Левая часть переписывается как |x|^2 - 8|x| + 12, поэтому если x=b корень уравнения, то и x=-b - корень.
Так как уравнение должно иметь 6 корней, то возможен только такой случай: уравнение имеет ровно 3 положительных корня.
Таким образом, уравнение |x^2-8x+12| = a должно иметь ровно 3 положительных корня. Но это уравнение можно записать как совокупность двух уравнений:
[ x^2-8x+(12-a)=0, x^2-8x+(12+a)=0 ]
Заметим, что по теореме Виета если второе уравнение имеет корни, то все они положительны (т.к. сумма корней 8, а произведение положительно и равно 12+a).
1 случай. Второе уравнение имеет 1 корень, а первое уравнение - 2 положительных корня.
Несложно убедиться, что первое условие выполняется только при a=4. Подставим в первое уравнение а=4:
x^2-8x+8=0
D/4=16-8=8>0
уравнение имеет 2 корня, а из теоремы Виета следует, что эти корни положительны.
Итак, при a=4 уравнение имеет нужное число корней.
2 случай. Второе уравнение имеет 2 корня, а первое имеет корни разных знаков.
Для того, чтобы узнать, когда выполняется первое условие, вычислим дискриминант:
D/4=16-12-a=4-a>0, откуда a<4.
Для того, чтобы выполнялось второе условие, нужно чтобы 1) корни были и 2) ихз произведение было отрицательно.
D/4=16-12+a=4+a>0 - верно для всех а>0
12-a<0, откуда a>12.
Очевидно, такой случай невозможен.
3 случай. Второе уравнение имеет 2 корня, а первое - один корень, который положителен.
Понятно, что у первого уравнения 1 корень будет только при a=-4, но a>0. Противоречие.
Итак, уравнение имеет 6 корней только при a=4, это число и идет в ответ.
P.S. Традиционный решения таких задач - графический. Для того, чтобы понять, сколько корней имеет уравнение f(x)=a, нужно всего лишь построить график y=f(x), а затем смотреть, при каких a прмая y=a пересекает график в нужном количестве точек. График |x^2-8|x|+12|=y см. во вложении. Как правило, такой приводит к ответу быстрее, чем аналитическое решение.
