докажем утверждение от противного.
можно предположить, что для любых двух разных точек a и b из s найдется отличная от них точка x из s такая, что либо xa < 0,999ab, либо xb < 0,999ab.
переформулируем утверждение: для любого отрезка i с концами в s и длиной l найдется отрезок i′ с концами в s длины не более 0,999l, один из концов которого совпадает с некоторым концом i.
или, иначе говоря, i′ пересекает i.
возьмем теперь первый отрезок i1 длины l и будем брать отрезки i2, i3, …так, что ik + 1 пересекается с ik и |ik + 1| < 0,999|ik|.
все эти отрезки имеют концы в s. ломаная не короче отрезка, соединяющего ее концы, поэтому расстояние от любого конца ik до любого конца i1 не превосходит
следовательно, в квадрате 2000l × 2000l с центром в любом из концов i1 лежит бесконечное число точек s.
но из условия следует конечность их числа в любом квадрате.
При бросании одной игральной кости существует шесть возможных исходов. Посчитаем, сколько существует исходов при бросании двух костей.
6^2 = 36 (исходов).
Посмотрим, в каких случаях произведение выпавших очков будет равно пяти, четырем, десяти или двенадцати.
1) Указанное произведение будет равно пяти в двух случаях:
если на первой кости выпадет 1, а на второй – 5;
если на первой кости выпадет 5, а на второй – 1.
Два из 36 исходов являются благоприятными. Вычислим искомую вероятность.
2 / 36 = 1/18.
2) Указанное произведение будет равно четырем в трех случаях:
если на первой кости выпадет 1, а на второй – 4;
если на каждой из двух костей выпадет 2;
если на первой кости выпадет 4, а на второй – 1.
Три из 36 исходов являются благоприятными. Вычислим искомую вероятность.
3 / 36 = 1/12.
3) Указанное произведение будет равно десяти в двух случаях:
если на первой кости выпадет 2, а на второй – 5;
если на первой кости выпадет 5, а на второй – 2.
Два из 36 исходов являются благоприятными. Вычислим искомую вероятность.
2 / 36 = 1/18.
4) Указанное произведение будет равно двенадцати в четырех случаях:
если на первой кости выпадет 2, а на второй – 6;
если на первой кости выпадет 3, а на второй – 4;
если на первой кости выпадет 4, а на второй – 3;
если на первой кости выпадет 6, а на второй – 2.
Четыре из 36 исходов являются благоприятными. Вычислим искомую вероятность.
4 / 36 = 1/9.
1) 1/18;
2) 1/12;
3) 1/18;
4) 1/9.
