Дана прогрессия (bn) : b1=1, bn=16, q=0,25, s=21 найти: n )

Давайте решим данное уравнение пошагово, чтобы ответ был понятен школьнику.

1. Записываем данное уравнение: ctg(0,1x+7°) = - √3

2. Используя определение тангенса и контангенса, преобразуем уравнение:
1 / tan(0,1x+7°) = - √3
[известно, что ctg(x) = 1 / tan(x)]

3. Теперь возьмем обратные функции от обеих частей уравнения:
tan(0,1x+7°) = - 1 / √3

4. Используем тангенс половинного угла, чтобы преобразовать тангенс суммы углов:
tan[(0,1x+7°)/2] = √[(1 - 1/√3) / (1 + 1/√3)]

5. Упрощаем выражение в скобках:
tan[(0,1x+7°)/2] = √[(√3 - 1) / (√3 + 1)]
[для упрощения применим формулу разности квадратов: a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)]

6. Применяем формулу для тангенса половинного угла:
tan[(0,1x+7°)/2] = √3 - 1 / √3 + 1

7. Заменяем тангенс на синус и косинус:
sin[(0,1x+7°)/2] / cos[(0,1x+7°)/2] = (√3 - 1) / (√3 + 1)

8. Умножаем обе части уравнения на косинус, чтобы избавиться от деления:
sin[(0,1x+7°)/2] = (√3 - 1)(cos[(0,1x+7°)/2]) / (√3 + 1)

9. Применяем формулу синуса половинного угла:
sin[(0,1x+7°)/2] = ± √[(1 - cos[(0,1x+7°)] / 2)]

10. Раскрываем косинус половинного угла:
sin[(0,1x+7°)/2] = ± √[(1 - cos[(0,1x)cos(7°) + sin[(0,1x)sin(7°)] / 2)]

11. Подставляем значения косинуса и синуса 7°:
sin[(0,1x+7°)/2] = ± √[(1 - cos[(0,1x)]cos(7°) - sin[(0,1x)]sin(7°)) / 2]

12. Упрощаем выражение:
sin[(0,1x+7°)/2] = ± √[(1 - cos[(0,1x)]) / 2]

13. Раскрываем косинус:
sin[(0,1x+7°)/2] = ± √[(1 - cos[(0,1x)]) / 2]

14. Заменяем sin на 1/csc, чтобы избавиться от деления:
1 / csc[(0,1x+7°)/2] = ± √[(1 - cos[(0,1x)]) / 2]

15. Применяем определение контангенса:
ctg[(0,1x+7°)/2] = ± √[(1 - cos[(0,1x)]) / 2]

Таким образом, наименьший положительный корень будет получен при обратном знаке корня:
ctg[(0,1x+7°)/2] = - √[(1 - cos[(0,1x)]) / 2]

Наибольший отрицательный корень будет получен при прямом знаке корня:
ctg[(0,1x+7°)/2] = √[(1 - cos[(0,1x)]) / 2]

Это позволяет найти наименьший положительный и наибольший отрицательный корни уравнения ctg(0,1x+7°) = - √3.

1) В данном случае нам известно, что sin x = 1/3 и x находится во второй четверти. Чтобы найти sin 2х, воспользуемся формулой двойного угла: sin 2х = 2sin x cos x.

Зная sin x = 1/3, мы можем найти cos x, так как sin^2 x + cos^2 x = 1. Подставляем известные значения: (1/3)^2 + cos^2 x = 1. Решив это уравнение, находим cos x = -√8/3 (минус, так как x находится во второй четверти).

Теперь мы можем подставить значения в формулу sin 2х = 2sin x cos x: sin 2х = 2 * (1/3) * ( -√8/3).
Упрощаем выражение, получаем sin 2х = -2√8 / 9.

2) Аналогично первому вопросу, нам дано cos x = -1/3. Чтобы найти cos 2х, мы воспользуемся формулой для cos 2х: cos 2х = cos^2 x - sin^2 x.

Подставляем известные значения: cos 2х = (-1/3)^2 - (1 - sin^2 x). Берем в расчет, что sin^2 x = 1 - cos^2 x, подставляем эту формулу. Тогда получаем cos 2х = (-1/3)^2 - (1 - (1/3)^2).
Вычисляем выражение, получаем cos 2х = 8/9.

3) В данном вопросе tg x = 2. Чтобы найти tg 2х, воспользуемся формулой для tg 2х: tg 2х = 2tg x / (1 - tg^2 x).

Подставляем известное значение: tg 2х = 2 * 2 / (1 - 2^2). Вычисляем выражение, получаем tg 2х = -4/3.

4) Данное выражение 2 sin (-π/12) cos (π/12) можно упростить, используя формулу двойного угла.

sin (-π/12) = -sin (π/12), так как sin является нечетной функцией.
cos (π/12) = cos (π/2 - π/12) = cos (5π/12).

Теперь мы можем подставить значения в исходное выражение: 2 sin (-π/12) cos (π/12) = 2 (-sin (π/12)) cos (5π/12).

5) Так как sin 120° относится к треугольнику с углом 120°, мы можем воспользоваться геометрическим определением синуса.
В треугольнике равнобедренном со сторонами 1, 1, и 2, где 2 - гипотенуза, sin 120° = √3/2.

6) Дано cos x = 1/6 и x находится в первой четверти. Чтобы найти sin 2х, воспользуемся формулой двойного угла: sin 2х = 2sin x cos x.

Мы можем найти sin x, так как sin^2 x + cos^2 x = 1. Подставляем известные значения: sin^2 x + (1/6)^2 = 1. Решив это уравнение, находим sin x = √35/6.

Теперь мы можем подставить значения в формулу sin 2х = 2sin x cos x: sin 2х = 2 * (√35/6) * (1/6).
Упрощаем выражение, получаем sin 2х = √35/18.

7) Аналогично предыдущему вопросу, нам дано sin x = -2/7. Чтобы найти cos 2х, мы воспользуемся формулой для cos 2х: cos 2х = 1 - 2sin^2 x.

Подставляем известное значение: cos 2х = 1 - 2(-2/7)^2. Вычисляем выражение, получаем cos 2х = -35/49.

8) В данном вопросе tg x = 3. Чтобы найти tg 2х, воспользуемся формулой для tg 2х: tg 2х = 2tg x / (1 - tg^2 x).

Подставляем известное значение: tg 2х = 2 * 3 / (1 - 3^2). Вычисляем выражение, получаем tg 2х = -6/8 = -3/4.

9) 2sin 45° cos 45° = 2 * (√2/2) * (√2/2) = 2 * 1/2 * 1/2 = 1/2.

10) Данное выражение cos 120° можно упростить, воспользовавшись геометрическим определением косинуса.
В треугольнике равностороннем со сторонами 1, 1 и 1, где 1 - гипотенуза, cos 120° = -1/2.