Необходимо решить и дать пояснения. найдите высоту цилиндра наибольшего объёма, который можно вписать в шар радиуса r.

task/29588553   Пользуясь формулой Муавра  и  Бином Ньютона , выразить через степени sinφ и cosφ следующие функции кратных углов :

1) sin 4φ  ;       2) cos 5φ.  

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

* * *  z₁ =a₁ + i *b₁  ;    z₂ =a₂ +i*b₂ .      Если  z₁ = z₂ , то  a₁ = a₂ и   b₁ = b₂  * * *

Формула Муавра: zⁿ = ( r(cosφ +i sinφ) )ⁿ = rⁿ*[cos(nφ) + i*sin(nφ)].

1 )  (cosφ +i sinφ)⁴ = cos4φ + i * sin4φ     ( а₁ )             * * * r =1 * * *

С другой стороны по формуле бинома Ньютона :

(cosφ +i sinφ)⁴=cos⁴φ+4cos³φ*(isinφ)+6cos²φ*(isinφ)²+4cosφ*(isinφ)³+(i sinφ)⁴

= cos⁴φ - 6cos²φ*sin²φ +sin⁴φ + i*( 4cos³φ*sinφ - 4cosφ*sin³φ) .  ( б₁ )

Сравнивая (а₁) и (б₁) получаем :

sin4φ =4cos³φ*sinφ - 4cosφ*sin³φ  || = 4sinφcosφ* (cos²φ - sin²φ) =

2sin2φ *cos2φ =sin4φ ||  

2)  (cosφ +i sinφ)⁵ = cos5φ + i*sin5φ      ( а₂ )    

(cosφ +i sinφ)⁵ =cos⁵φ +5cos⁴φ*(isinφ)+10cos³φ*(isinφ)²+10cos²φ*(isinφ)³ +

+ 5cosφ*(isinφ)⁴+ (i sinφ)⁵ = cos⁵φ - 10cos³φ*sin²φ +5cosφ*sin⁴φ +

+i*(5cos⁴φ*isinφ -  10cos²φ*sin³φ + sin⁵ φ ).      ( б₂ )    

Сравнивая (а₂) и (б₂) получаем  :

cos5φ = cos⁵φ - 10cos³φ*sin²φ +5cosφ*sin⁴φ  .

Решение
Не выполняя построения, установите взаимное расположение графиков лин.функций:
Будем проверять равенство коэффициентов при х и свободные члены
y = k₁ + b₁  y = k₂x + b₂
сократим дроби
1)  y=12/16x+8/10 = 3/4x + 4/5 
y=15/20x+4/5 = 3/4x + 4/5
k₁ = k₂   и  b₁ = b₂
Таким образом:
y=12/16x+8/10 и y=15/20x+4/5
уравнения равносильны, значит графики этих функций - одна и та же прямая. То есть графики сливаются или совпадают.

2)  y=8/9x-1/7 и y=8/9x+1/10
k₁ = k₂ = 8/9
значит графики этих функций - параллельны.

3)  у=7x+8 и y=*x-4
k₁ ≠ k₂  и b₁ ≠ b₂ 
значит графики этих функций - пересекаются

4)  y=*x-15 и y=3x+2
k₁ ≠ k₂  и b₁ ≠ b₂ 
значит графики этих функций - пересекаются