Так как существует конечный предел
![\[\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0 } \frac{{f(x) - f(x_0 )}}{{x - x_0 }} = k\]](/tpl/images/1350/2975/4b83c.png)
То график функции 
имеет касательную в точке 
.
Запишем уравнение касательной в общем виде
![\[Y = k(X - x_o ) + f(x_0 )\]](/tpl/images/1350/2975/3e7b3.png)
Где 
- угловой коэффициент касательной. Очевидно, что равен производной функции 
(геометрический смысл производной).
Найдем производную это функции с определения
![\[f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f(x + \Delta x) - f(x)}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{4\left[ {x + \Delta x} \right]^3 - 4x^3 }}{{\Delta x}} = 12x^2 \]](/tpl/images/1350/2975/3d8eb.png)
Производная в точке x0, равна
![\[f'(x_0 ) = 12 \cdot 7^2 = 588\]](/tpl/images/1350/2975/2a0e1.png)
Вычислим значение функции в точке x0=7
![\[f(x_0 ) = 4 \cdot 7^3 = 1372\]](/tpl/images/1350/2975/05781.png)
Тогда уравнение касательной имеет вид
![\[Y = 588\left[ {X - 7} \right] + 1372 = 588X - 2744\]](/tpl/images/1350/2975/3b2e5.png)
