Пример 1. Найдите сумму первых пяти членов арифметической прогрессии, если сумма второго и восьмого членов прогрессии равна 19, а произведение седьмого и третьего равно 48.​

cos(2x) = cos x + sin x 

=> cos^2(x) - sin^2(x) = cos x + sin x 

=> ( cos x + sin x)(cos x - sin x) = (cos x + sin x) 

=> ( cos x + sin x)(cos x - sin x) - (cos x + sin x) = 0 

=> (cos x + sin x )(cos x - sin x - 1) = 0 

Случай 1: 

cos x + sin x = 0 

cosx = -sin x 

делим на cos x 

tan x = - 1 

x = 3π/4, 7π/4 

Случай 2: 

cos x - sin x - 1 = 0 

cos x - sin x = 1 

переводим на 2 стороны 

cos^2(x) + sin^2(x) - 2sin x cos x = 1 

1 - sin(2x) = 1 

sin(2x) = 0 

2x = 0, π, 2π 

x = 0, π/2, π 

только 0 

поэтому x = 0, 3π/4, 7π/4 в интервале [ 0, 2π ]

1) Длина стороны ВС равна √((Xc-Xb)²+(Yc-Yb)²) = √((17-1)²+(2-0)²) =
    = √(16²+2²) = √(256+4) = √260 = 2√65 = 16.1245.
   Аналогично находим  длину стороны АВ = 5, и АС = 13.
2) Площадь S = (1/2)*|(Xb-Xc)*(Yc-Ya)-(Xc-Xa)*(Yb-Ya)| =
    = (1/2)*|(1-5)*(2-(-3))-(17-5)*(0-(-3))| = (1/2)*|-4*5-12*3| =(1/2)|-56| = 28.
3) Уравнение стороны ВС: 
    (X-Xb)/(Xc-Xb) = (Y-Yb)/(Yc-Yb)
   (X-1)/(17-1) = (Y-0)/(2-0)
    (X-1)/16 = Y/2
     X-8Y-1=0    или с коэффициентом: У = (1/8)X - (1/8).
4) Уравнение высоты из вершины А:
     (Х-Xa)/(Yc-Yb) = (Y-Ya)/(Xb-Xc)
     (X-5)/(2-0) = (Y-(-3))/(1-17)
     (X-5)/2 = (Y+3)/-16
      8X+Y-37=0     или Y = -8X+37.
    Аналогично находим уравнения высоты из вершины В:
   12Х+5У-12=0,
    и из вершины С:
    4Х-3У-62=0.
5) Высота из вершина А равна Ha = 2S/BC = 2*28 / 2√65 = 3,473.
    Из вершины В: Нв = 2*28 / 13 = 4,308.
    Из вершины С: Нс = 2*28 / 5 = 11,2.
6) Косинус угла В: cosB = (AB²+BC²-AC²) / (2*AB*BC) =
     = (5²+(2√65)²-13²) / (2*5*2√65) = 116/20√65 =  0.7194
Угол В = 0.76786 радиан =  43.9949 градуса.