Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
y=e^x, y=e^-x, x=1
поскольку обе кривые пересекаются в точке х=0 у=1
и не обращаются в ноль то
площадь фигуры, ограниченной линиями y=e^x, y=e^-x, x=1
равна площади фигуры, ограниченной линиями y=e^x у=0 x=0 x=1
минус площадь фигуры, ограниченной линиями y=e^-x у=0 x=0 x=1
первая это интеграл от нуля до 1 от e^x
вторая это интеграл от нуля до 1 от e^-x
интеграл от e^-x = - e^-x
остается подставить значения и найти каждый интеграл а затем из первого вычесть второй
Область определения может иметь ограничения в трех случаях:
1) Если в функции есть дробь, то знаменатель не может быть равен 0.
2) Если в функции есть корень четной степени, то выражение под ним не может быть меньше 0.
3) Если в функции есть логарифм, то выражение под ним должно быть больше 0, и основание тоже больше 0 и не равно 1.
Теперь решаем сами примеры.
1) y = x^2 - 3x - 4
Ограничений, перечисленных во вступлении, нет, поэтому
Область определения D(X) = R = (-oo; +oo)
Вершина параболы находится в точке M0(x0; y0)
x0 = -b/(2a) = 3/2; y0 = (3/2)^2 - 3*3/2 - 4 = 9/4-9/2-4 = 9/4-18/4-16/4 = -25/4
Ветви параболы направлены вверх, поэтому
Область значений E(Y) = [-25/4; +oo)
2) y = -x^2 - 2x + 3
Ограничений, перечисленных во вступлении, нет, поэтому
Область определения D(X) = R = (-oo; +oo)
Вершина параболы находится в точке M0(x0; y0)
x0 = -b/(2a) = 2/(-2) = -1; y0 = -(-1)^2 - 2(-1) + 3 = -1 + 2 + 3 = 4
Ветви параболы направлены вниз, поэтому
Область значений E(Y) = (-oo; 4]
3) y = 1/(x-1)
Здесь ограничение по 1 пункту: дробь. Знаменатель x ≠ 1, поэтому
Область определения: D(X) = (-oo; 1) U (1; +oo)
При х, стремящемся к бесконечно большим величинам, y стремится к 0.
Область значений: E(Y) = (-oo; 0) U (0; +oo)
4) y = (2+x)/(x+1) = (x+1+1)/(x+1) = 1 + 1/(x+1)
Здесь тоже ограничение по 1 пункту: дробь. Знаменатель x ≠ -1, поэтому
Область определения: D(X) = (-oo; -1) U (-1; +oo)
При х, стремящемся к бесконечно большим величинам, y стремится к 1.
Область значений: E(Y) = (-oo; 1) U (1; +oo)
