X^2y^2-4y^2/4xy * x^2/2xy-x^2y

Функции  и построить ее график.

1) Функция определена всюду, кроме точек .

2) Функция нечетная, так как f(-x) = -f(x), и, следовательно, ее график симметричен относительно начала координат. Поэтому ограничимся исследованием только для 0 ≤ x ≤ +∞.

3) Функция не периодическая.

4) Так как y=0 только при x=0, то пересечение с осями координат происходит только в начале координат.

5) Функция имеет разрыв второго рода в точке , причем , . Попутно отметим, что прямая  – вертикальная асимптота.

6) Находим  и приравниваем ее к нулю: , откуда x1 = -3, x2 = 0, x3 = 3. На экстремум надо исследовать только точку x=3 (точку x2=0 не исследуем, так как она является граничной точкой промежутка [0, +∞)).

В окрестности точки x3=3 имеет: y’>0 при x<3 и y ’<0 при x>3, следовательно, в точке x3 функция имеет максимум, ymax(3)=-9/2.

Найти первую производную функции

Для проверки правильности нахождения минимального и максимального значения.

7) Находим . Видим, что y’’=0 только при x=0, при этом y”<0 при x<0 и y”>0 при x>0, следовательно, в точке (0,0) кривая имеет перегиб. Иногда направление вогнутости может измениться при переходе через разрыв кривой, поэтому следует выяснить знак y” и около точек разрыва функции. В нашем случае y”>0 на промежутке (0, ) и y”<0 на (, +∞), следовательно, на (0, ) кривая вогнута и выпукла на (, ∞).

Найти вторую производную функции

8) Выясним вопрос об асимптотах.

Наличие вертикальной асимптоты  установлено выше. Ищем горизонтальные: , следовательно, горизонтальных асимптот нет.

Найдем наклонные асимптоты: , , следовательно, y=-x – наклонная двусторонняя асимптота.

9) Теперь, используя полученные данные, строим чертеж:

Пусть дан т-к АВС. 

Продлим медианы на их длину ( см. рис)

По свойству диагоналей параллелограмма 

АА1²+ВС²=2(АВ²+АС²)

и

СС1²+АВ²=2(АС²+ВС²)

Пусть АВ=с, ВС=а

Составим систему уравнений:

[(2*6√7)²+a²=2(c²+14²)

[(2*3√7)²+c²=2(14²+a²)

⇒ 

[ а²-2с²=2*14² -144*7 

[-2а²+с²=2*14²-36*7 домножим на 2 обе стороны этого уравнения.

Сложим уравнения системы:

[а²-2с=2*14² -144*7 

[-4а²+2с²=4*14²-72*7

-3а²=6*14²-216*7⇒

а²=112

а=4√7

Подставим найденное значение а в уравнение 

а²-2с²=2*14² -144*7 ⇒ 

112+144*7-2*196=2 с²

с²=364

с=2√91

АВ=2√91

ВС=4√7 

---------

Задачу можно решить по т. косинусов.

Медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.

Тогда АО=4√7, CO=2√7

Из ∆ АОС 

АС²=АО²+СО²-2*АО*СО*cos ∠АОС

cos ∠АОС=(АС²-АО²+СО²):(-2*АО*СО)

cos ∠АОС=[14²-(4√7)²-(2√7)²]:[-2*(4√7)*(2√7]

cos ∠АОС= -56:2*56= -1/2 - это косинус 120º

В ∆ СОК ∠ СОК =180°-120°=60°

ОК=АК:3=2√7

ОК=ОС, угол СОК=60°⇒

∆ СОК - правильный, СК=2√7, 

ВС=2 СК=4√7

В Δ АМО ∠ МОА=∠ СОК=60°

АМ²=МО+АО-2*МО*АО*cos∠АОМ

АМ²=(√7)²+(4√7)²-2*(√7)*(4√7)*1/2*cos∠АОМ

АМ²=7+16*7-2*4*7*1/2

АМ²=91

АМ=√91

AB=2√91