Найдите неизвестный член пропорции: 7) |-23|/y=|-3 37/49|/4 4/49;

Доказательство можно провести по индукции.
Шаг 1. При n = 1 имеем 1 * 2 * 3 = (1 / 4) * 1 * 2 * 3 * 4 - верно.
Шаг 2. Предположим, что данное равенство верно, при n = k, то есть:
1 * 2 * 3 + 2 * 3 * 4 + ... + k * (k + 1) * (k + 2) = (1 / 4) * k * (k + 1) * (k + 2) *
(k + 3) - верно. 
Шаг 3. Докажем верность равенства для n = k + 1. Имеем:
1 * 2 * 3 + 2 * 3 * 4 + ... + k * (k + 1) * (k + 2) + (k + 1) * (k + 2) * (k + 3) = 
(1 / 4) * (k + 1) * (k + 2) * (k + 3) * (k + 4). Перенесём последнее слагаемое левой части вправо с обратным знаком, а в правой части раскроем скобки последнего множителя (k + 4) почленно перемножив:
1 * 2 * 3 + 2 * 3 * 4 + ... + k * (k + 1) * (k + 2) = 
((1 / 4) * k * (k + 1) * (k + 2) * (k + 3)) +
((1 / 4) * 4 * (k + 1) * (k + 2) * (k + 3) - (k + 1) * (k + 2) * (k + 3)). Заметим, что в правой части второе слагаемое равно 0, а оставшееся равенство верно по предположению Шага 2. Доказано.

Вспомним основное тригонометрическое тождество:
sin^2 x + cos^2 x = 1
Отсюда:
sin^2 = 1 - cos^2 x
Подставим это в числитель, а знаменатель перенесём вправо:
2 (1 - cos^2 x) = 3 (1-cos x)
Разложим левую часть как разность квадратов:
2 (1 - cos x) (1 + cos x) = 3 (1 - cos x)
Тут возникает соблазн сократить на одинаковый множитель, но надо рассмотреть вариант, когда этот множитель нулевой:
(1 - cos x) = 0
1 = cos x
x = arccos 1 = 0 + 2ПN, где N - 0,1,2...
Решением это являться не будет, так как такой х обращает в исходном выражении знаменатель в нуль, а на нуль, как известно, делить нежелательно!
Запомним, теперь сократим и продолжим с оставшейся частью:
2(1 + cos x) = 3
1 + cos x = 1,5
cos x = 0,5
x = arccos 0,5 = +-П/3 + 2ПN.
Это решение не пересекается с ранее полученными недопустимыми значениями, значит ответ:
x = {+-П/3 + 2ПN}