Следующие свойства справедливы для любых положительных чисел a и b и любых действительных чисел a и b.
a0 = 1;aa + b = aa · ab;(aa)b = aab;(ab)a = aa · ba;Замечание 1. Отметим, что отрицательные числа также можно возводить в некоторые степени (целые и, более общо, рациональные вида где m - целое, n - натуральное).
Замечание 2. 0a = 0, для любого a > 0.
III. Свойства радикалов если a ≥ 0, b ≥ 0, k Î N, если ab ≥ 0, k Î N. где a ≥ 0, если m - четно, a Î R, если m - нечетно. где a ≥ 0, b > 0, n - четно или b ≠ 0, a Î R, если n - нечетно. где a ≥ 0, если m - четно или n четно, a Î R, если m·n - нечетно. где a > 0, b > 0, c > 0 и a2 ≥ b2c.Пример 1. Определить ОДЗ алгебраических выражений:
Решение. a) ОДЗ данного выражения определяется из неравенства x + x2 - 2x3 ≥ 0, которое решаем при метода интервалов:
x + x2 - 2x3 ≥ 0 Û x(1 + x - 2x2) ≥ 0 Û x(2x + 1)(1 - x) ≥ 0 Û x Î (-¥;-1/2]È[0;1].Таким образом, D(E) = (-¥;-1/2]È[0;1].
b) Отметим, что выражение имеет смысл тогда и только тогда, когда
x2 + y ≠ 0,|x - y| ≠ 0,x + y ≠ 0,откуда следует, что D(E) = {(x,y) | x ≠ y, x ≠ -y}.c) Так как знаменатель дроби должен быть отличен от нуля, а корень второй степени существует только из неотрицательных выражений, то для определения ОДЗ получим систему
b + c ≠ 0,b2c + c2b ≠ 0,d ≥ 0, Û b + c ≠ 0,bc(b + c) ≠ 0,d ≥ 0, Û b + c ≠ 0,b ≠ 0,c ≠ 0,d ≥ 0.Таким образом, ОДЗ исходного выражения равна {(a,b,c,d) | b + c ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0, d≥ 0}.
Пример 2. Определить, являются ли выражения A и B тождественно равными на множестве M.
Решение. a) Так как на множествеM, то, применив формулу сокращенного умножения, получим:
Условие a > b > 0 влечет и, следовательно, Отсюда получаем, что Таким образом, выражения A и Bтождественно равны на множестве M.b) Подобно предыдущему примеру
При преобразованиях учитывается, что, если то , и
Пример 3. Упростить выражения:
Решение. ОДЗ выражения определяется из системы решая которую, получим b ≥ 2.
Выполним равносильные на ОДЗ преобразования:
так как на ОДЗ , следовательно, Таким образом, при b ≥ 2 исходное выражение равноb) ОДЗ данного выражения является множество {(m,n) | m ≥ 0, n ≥ 0, m ≠ n}. Обозначив получим m = a6 и n = b6 выражение принимает вид
Таким образом, исходное выражение на ОДЗ тождественно равноc) На ОДЗ: {(a,b,c) | a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0, a2 + c2 ≠ 0} выражение преобразуется следующим образом:
d) ОДЗ данного выражения является множество {(a,b,c) | a ≠ b, a ≠ c, b ≠ c}. Приводя выражение к общему знаменателю, получим:
Учитывая вид знаменателя, разложим на множители числитель:
a3(c - b) + b3(a - c) + c3(b - a) = c(a3 - b3) + ab(b2 - a2) + c3(b - a) == (a - b)(c(a2 + ab + b2) - ab(a + b) - c3) = (a - b)(c(a2 - c2) + ab(c - a) + b2(c - a)) == (b - c)(a - b)(-a2b - a2c + c2(a + b)) = (a - b)(b - c)(b(c2 - a2) + ac(c - a)) == (a - b)(b - c)(c - a)(ab + bc + ca).Следовательно, на ОДЗ исходное выражение тождественно равно ab + bc + ca.
f) ОДЗ выражения является множество {(x,y,z) | x ≠ y, y ≠ z, z ≠ x}. Первое слагаемое выражения преобразуем следующим образом:
Аналогично преобразуются и другие слагаемые:Следовательно,g) ОДЗ выражения равна R\{-2;0;3}. Учитывая, что выражение содержит |m| и |m - 3|, рассмотрим три случая:
пусть m Î (-¥;-2)È(-2;0); тогда |m| = -m, |m - 3| = -(m - 3), и выражение принимает видпусть m Î (0;3); тогда |m| = m, |m - 3| = -(m - 3), и выражение принимаетпусть m Î (3;+¥); тогда |m| = m, |m - 3| = m - 3 и выражение принимает видТаким образом,
Пример 4. Разложить на множители:
a) (x + y)(y + z)(z + x) - xyz;b) x3 + y3 + z3 - 3xyz;c) x8 + x7 + x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1;d) x5 + x + 1.Решение. a) Прибавляя и вычитая z(y + z)(z + x), а затем группируя удобным образом, получим:
(x + y)(y + z)(z + x) + z(y + z)(z + x) - z(y + z)(z + x) - xyz == (y + z)(z + x)(x + y + z) - z((y + z)(z + x) - xy) == (y + z)(z + x)(x + y + z) - z(z2 + yz + zx) == (y + z)(z + x)(x + y + z) - z2(x + y + z) == (x + y + z)((y + z)(z + x) - z2) = (x + y + z)(xy + yz + zx).b) Применяется формула суммы кубов и решается подобно предыдущему упражнению
x3 + y3 + z3 - 3xyz = (x + y)(x2 - xy + y2) + z(z2 - 3xy) == (x + y + z)(x2 - xy + y2) + z(z2 - 3xy - x2 + xy - y2) == (x + y + z)(x2 - xy + y2) + z(z2 - (x + y)2) == (x + y + z)(x2 - xy + y2 + z(z - x - y)) == (x + y + z)(x2 + y2 + z2 - xy - xz - yz).c) Применяя формулы сокращенного умножения, получим:
d) x5 + x + 1 = 1 + x + x2 - x2 + x5 = 1 + x + x2 - x2(1 - x3) = (1 + x + x2) - x2(1 - x)(1 + x +x2) = (1 + x + x2)(1 - x2(1 - x)) = (1 + x + x2)(1 - x2 + x3).
Объяснение:
1)
a) нет (любое отрицательное целое число не является натуральным, например -1)
б) да
в)нет ( например число 1,25)
г)Нет (например число √7 будет действительным и иррациональным)
3) 
= 16/7 = 160/70
2,2 = 22/10 = 144/70, значит 16/7>2,2
2,3 = 23/10 = 161/70, значит 16/7<2,3 , а значит правильный ответ 2 ( не знаю почему учитель поставил -, наверное ошибся)
ответ: 2
4) Площадь прямоугольника находится по формул S = a*b, где a и b его стороны
тут мы видим разность квадратов
S = 5²-√3² = 25 -3 = 22
ответ : 22
5) 
, значит 4√2 находится между ними
середина между 25 и 36 - число 31, а т.к 32>31, то точка будет ближе к числу 6, а значит ответ 3)P
ответ: 3
6)
В 1 случае нет решения, т.к корень отрицательный
Во 2 и 3 корни иррациональные
В 4 уравнение мы получили число 3 - рациональное, значит ответ 4
ответ: 4
7)
a)
D= (-4)²-4*1*(-3) = 16 + 12 =28
- подходит
б)5x²-x = 0
x(5x-1)=0
x = 0 или 5x -1 = 0
5x = 1
x = 0,2 - не подходит, т.к тут корни уравнения рациональные
в) 1 - 4x²= 0
4x² = 1
- не подходит, т.к тут рациональные корни уравнения
ответ: 1
8) тут просто подставляем x и y
M: 
- неверно
N: 
- неверно
P: 
- неверно
ну методом исключения правильный ответ 4) Q , но лучше перепроверить
Q:
- истина
ответ: 4
