1. Докажите, что нет рационального числа, квадрат которого равен: 1) 3; 2) 5; 3) 6; 4) 2,1.
2. Докажите, что нет рационального числа, куб которого равен:
1) 2; 2) 3; 3) 6; 4) 2,1.
3. Докажите, что если а — целое число, не являющееся квадратом целого
числа, то оно не является квадратом никакого рационального числа.
4. Докажите, что если а — целое число, не являющееся кубом целого
числа, то оно не является кубом никакого рационального числа.
5. Пусть a, b, c — целые числа. При каком условии уравнение ах2 +
+ bx + c = 0 имеет рациональные корни? Докажите необходимость и
достаточность этого условия.
6. Является ли одействительным числом?
7. Найдите для следующих чисел их целые и дробные части, приближе-
ния по недостатку и по избытку с точностью до 0,0001:
1) п = 3,1415926...;
3) 0,5189773...;
4) -0,5189773...; 5) 0,0063754; 6) - 0,0063754.
2) -п;
8. Вычислите с микрокалькулятора приближенные значения
следующих чисел, найдите их целые и дробные части и приближе-
ния по недостатку и по избытку с точностью до 0,0001:
1) √2 + √3; 2) √2 – √3; 3) √(2 + √7,4); 4) √(√7,4 – 2);
5)√( 3 + √2) √(2 + √3); 6) √(3 + √2) : π
9. Докажите, что если £ > 0, ak — натуральное число, то при достаточ-
k
но большом значении выполняется неравенство
КЕ.
101
10. Постройте прямоугольники со сторонами 1 и 2 и со сторонами 3 и
2,1. Найдите с микрокалькулятора приближенное значе-
ние площади и периметра прямоугольника, стороны которого равны
диагоналям этих прямоугольников.
11. Докажите, что если для положительной бесконечной десятичной дро-
би все приближения по недостатку, начиная с n-го, совпадают, то
все цифры дроби, начиная с некоторой (с какой?), — нули.
12. Существует ли наименьшее число, большее 0,52?
13. Каково наибольшее действительное число, меньшее 0,9, в десятич-
ную запись которого не входит цифра 9?
14. Каково наименьшее действительное число, которое больше, чем 7,6,
причем в его десятичную запись не входят цифры 0, 1 и 2?​