y¹(x-2y)=2x+y
y¹=(2x+y) / (x-2y)
Это однородное уравнение, разделим числитель и знаменатель на х:
2+y/x
y¹ = Замена: t=y/x , y=tx , y¹=t¹x+tx¹=t¹x+t
1-2y/x
t¹x+t=(2+t)/(1-2t)
2t²+2 dx (1-2t) dt
t¹ = , =
x(1-2t) x 2(t²+1)
Далее интегрируем,
1 dt 2t dt dx
(∫ - ∫)= ∫
2 1+t² 1+t² x
1/2(arctgt-2ln|1+t²|)=ln|x|+C
y(1)=0 ⇒ C=0
1/2(arctg y/x - 2ln|1+y²/x²|)=ln|x|
y=x-1/x² = (x³-1) /x²
1)ОДЗ: х≠0, D(y)=(-∞,0)∨( 0 +∞)
2)Нули ф-ции : х³-1=0 , х³=1 , х=1
3) у(-х)=-х-1/х²≠у(х) , у(-х)≠ -у(х) ⇒ функция не явл. ни чётной, ни нечётной.
4)Непериодическая
5) у¹(х)= 1+2/х³=(х³+2)/х³
6)у¹(х)=0 ⇒х³+2=0 , х³=-2 , х=∛(-2)= -∛2 + + + - - - + + +
(-∛2)(0)
Максимум при х=-∛2 , у(-∛2)= -∛2-1/(∛4)
Минимума нет, т.к. х=0 не входит в ОДЗ.
7)Возрастаетна интервалах (-∞, -∛2) и (0,+∞)
Убывает в интервале (-∛2 , 0)
8)у¹¹(х)= -6/х⁴<0
Функция выпукла на всей ОДЗ
