Решить систему уравнений x²-y²=21

x+y=9

Левая часть неравенства должна существовать, поэтому 
a + x >= 0,
a - x >= 0

Переписываем систему в виде
-a <= x <= a,
|x| <= a
откуда видно, что a >= 0.
Можно сразу записать, что если a < 0, то решений нет.

Тогда обе части исходного неравенства неотрицательные, и можно возводить в квадрат.
a + x + 2sqrt(a^2 - x^2) + a - x > a^2
sqrt(a^2 - x^2) > a(a - 2)/2

Если правая часть отрицательна, то решение неравенства - все значения, при которых корень существует.
a(a - 2)/2 < 0 при 0 < a < 2, так что еще одна часть ответа такова: если 0 < a < 2, то -a <= x <= a.

Осталось рассмотреть случай, когда a(a - 2) >= 0. Тогда вновь можно возводить неравенство в квадрат.
a^2 - x^2 > (a^4 - 4a^3 + 4a^2)/4
x^2 < a^3 (4 - a)/4.

У этого неравенства есть шанс иметь решения, если правая часть строго положительна, поэтому предпоследняя часть ответа: если a = 0 или a >= 4, решений нет. Осталось рассмотреть последний случай 2 <= a < 4.

Заметим, что при таких a правая часть меньше a^2, ведь 
a^3 (4 - a) / 4 / a^2 = a (4 - a) / 4 < 2 * (4 - 2) / 4 = 1 (известно, что квадратичная парабола a (4 - a) / 4 достигает максимального значения в вершине), поэтому все корни существуют, и последняя часть ответа: если 2 <= a < 4, то -sqrt(a^3 (4 - a))/2 < x < sqrt(a^3 (4 - a))/2.

Собираем всё в одно и получаем ответ.
ответ. Если 0 < a < 2, то -a <= x <= a; если 2 <= a < 4, то -sqrt(a^3 (4 - a))/2 < x < sqrt(a^3 (4 - a))/2, для остальных a решений нет.

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

ответ:  а) F(x) = x³/3 -9 ;  б) F(x) =  sin(x)+(32-√3)/2  .

Найти первообразную функции y=f(x), график которой проходит через данную точку

а) y=x² ; D(3;0)

б) y=2cos²x/2-1 ;  M(π/3; 16)

Объяснение:

а) F(x) = ∫ydx = ∫ x²dx = x³/3+ C  

т.к. точка  D(3;0) ∈ гр. F(x) , то  0 = 3³/3+ C ⇒ C = - 9 , значит F(x) = x³/3 -9 .

б)   F(x) = ∫ydx =∫( 2cos²(x/2) - 1 )dx = ∫cos(x)dx = sin(x)+C

т.к. точка M(π/3; 16) ∈ гр. F(x) , то  16 = sin(π/3)+ C ⇒C =16-√3 /2=(32-√3)/2 значит    F(x) =  sin(x)+(32-√3)/2 .

* * *cos²α =(1+cos2α) / 2  * * *

! 2cos²(x/2) - 1=cos²(x/2) - ( 1-cos²(x/2) ) =cos²(x/2)-sin²(x/2) =cos2*x/2 =cosx