Проведём через точку (1; 4) прямую, пересекающую оси Ох и Оу в положительных значениях. Координата точки пересечения с осью Ох равна х, а с осью Оу равна у.
Длину по у можно выразить через х по пропорции:
4/(х - 1) = у/х, отсюда у = 4х/(х - 1).
Сумма длин х + у = х + (4х/(х - 1)) = (х² - х + 4х)/(х - 1) = (х² + 3х)/(х - 1).
Производная этой функции равна y' = (x² - 2x - 3)/(x - 1)².
Для нахождения минимума приравняем её нулю (достаточно числитель): x² - 2x - 3 = 0. Д = 4 + 4*3 = 16. х = (2+-4)/2 = 3 и -1 (отрицательное значение не принимаем).
Определим знаки производной (по числителю - знаменатель положителен) левее и правее найденной критической точки.
х = 2 3 4
y' = -3 0 5 Переход от + к - это минимум.
Находим уравнение прямой через 2 точки: (1; 4) и (3; 0)
(х - 1)/2 = (у - 4)/-4. Сократим знаменатели на 2.
(х - 1)/1 = (у - 4)/-2. это каноническое уравнение прямой.
-2х + 2 = у - 4.
у + 2х - 6 = 0 это общее уравнение прямой,
у = -2х + 6 оно же с угловым коэффициентом.
