Очень Доведіть, що при всіх натуральних значеннях n значення
виразу 5*7^2n+1 +13*25^n кратне 24.
2) Доведіть, що при всіх натуральних значеннях n значення виразу 3*8^2n+1 + 62*21^n кратне 23​

Возьмем за S весь объем задания,  а за х и у - скорость первого и второго штукатура соответственно
тогда первый  может выполнить задание за S/x часов, а второй за S/y.
S/x +5=S/y
S/(x+y)=6
надо найти S/x и S/y

S/y-S/x=5
S=6x+6y
S/x =6+6y/x  S/y=6+6x/y
6+6y/x-6-6x/y=5
обозначим y/x=z
6z-6/z=5
6z²-6=5z
6z²-5z-6=0
D=5²+4*6*6=169
√D=13
z₁=(5-13)/12=-8/12=-2/3  отбрасываем, так как z не может быть отрицательным
z₂=(5+13)/12=-18/12=3/2=1,5
S/x =6+6y/x=6+6z=6+6*1,5=6+9=15
 S/y=6+6x/y=6+6/z=6+6/1,5=6+4=10
ответ: 15 и 10 часов

Дано: n и m - натуральные
          n≠1 и m≠1
Доказать: n³+m³ - составное число
Доказательство:
Составное число - число полученное путём произведения двух натуральных чисел, больших единицы.
n³+m³=(n+m)(n²-nm+m²)
По условию, n и m - натуральные числа, не равные единице, следовательно, их сумма является натуральным числом  не равным единице. 
Посмотрим на вторую скобку: n²+m² - натуральное число, nm - натуральное число, причём n²+m² > mn, т.е. n²+m²-nm - также натуральное число больше единицы.
Получаем, что n³+m³ - является произведением двух натуральных чисел, больших единицы.
Следовательно, n³+m³ - составное число.
Что и требовалось доказать.