30. . По схеме Горнера покажите, что числа -2 и 1 являются кор
нями многочлена:
1) 2x4 + 7х3 - 2x2 - 13х + 6; 2) (x' + х)2 + 4(х? + х) - 12;
3) (x2 +х+1)(х2 + x + 2) - 12.​

Добрый день! Разберем ваш вопрос поэтапно.

1. Вынести общий множитель за скобки:
У нас есть два слагаемых, в каждом из которых есть общий множитель (5m-3). Мы можем вынести его за скобки, получив:
(5m-3)(n+1) + (2n-3)(5m-3)

2. Раскроем скобки в каждом слагаемом:
(5m-3)(n+1) = 5m(n+1) - 3(n+1) = 5mn + 5m - 3n - 3
(2n-3)(5m-3) = 2n(5m-3) - 3(5m-3) = 10mn - 6n - 15m + 9

3. Теперь сложим полученные результаты:
5mn + 5m - 3n - 3 + 10mn - 6n - 15m + 9

4. Сортируем слагаемые:
(5mn + 10mn) + (5m - 15m) + (-3n - 6n) + (-3 + 9)

5. Складываем коэффициенты при одинаковых переменных:
15mn + (-10m) + (-9n) + 6

6. Ответ:
Выражение можно записать в виде: 15mn - 10m - 9n + 6

Для доказательства данного неравенства, мы можем использовать метод математической индукции. Давайте проведем доказательство пошагово:

Шаг 1: Базовый случай
Для a = 1:
(1 + 1)(1 + 2)(1 + 3)(1 + 6) > 96*1
2 * 3 * 4 * 7 > 96
168 > 96

Таким образом, базовый случай верен.

Шаг 2: Предположение
Предположим, что неравенство выполняется для некоторого a = k, где k > 0. То есть, предполагаем, что
(k + 1)(k + 2)(k + 3)(k + 6) > 96k

Шаг 3: Доказательство для a = k + 1
Докажем, что неравенство выполняется для a = k + 1, используя предположение.

((k + 1) + 1)((k + 1) + 2)((k + 1) + 3)((k + 1) + 6) > 96(k + 1)
(k + 2)(k + 3)(k + 4)(k + 7) > 96k + 96

Распишем числа в скобках:
(k + 2)(k + 3)(k + 4)(k + 7) > 96k + 96
(k^2 + 5k + 6)(k^2 + 7k + 12) > 96k + 96
k^4 + 12k^3 + 41k^2 + 66k + 72 > 96k + 96

Теперь рассмотрим два выражения по отдельности и сравним их:
k^4 + 12k^3 + 41k^2 + 66k + 72
96k + 96

Объединим все слагаемые в одно выражение и упростим его:
k^4 + 12k^3 + 41k^2 + 66k + 72 - 96k - 96 > 0
k^4 + 12k^3 + 41k^2 - 30k - 24 > 0

Шаг 4: Доказательство неравенства в шаге 3
Произведем факторизацию левой части неравенства:
(k^2 + 6k + 8)(k^2 + 6k + 3) > 0

Теперь рассмотрим два множителя по отдельности:

1. k^2 + 6k + 8
Для доказательства, что данное выражение больше нуля, мы можем воспользоваться методом квадратного трехчлена или решить квадратное уравнение. Однако, я предположу, что данный квадратный трехчлен имеет корни, то есть дискриминант (D) меньше нуля.

D = b^2 - 4ac
D = 6^2 - 4(1)(8)
D = 36 - 32
D = 4

Таким образом, дискриминант равен 4, что больше нуля. Следовательно, квадратный трехчлен k^2 + 6k + 8 всегда положителен.

2. k^2 + 6k + 3
Для доказательства, что данное выражение больше нуля, мы можем воспользоваться тем же методом. Опять же, предположим, что данный квадратный трехчлен имеет корни, так что дискриминант меньше нуля.

D = b^2 - 4ac
D = 6^2 - 4(1)(3)
D = 36 - 12
D = 24

Таким образом, дискриминант равен 24, что больше нуля. Поэтому, второй квадратный трехчлен k^2 + 6k + 3 также всегда положителен.

Таким образом, мы доказали, что оба множителя (k^2 + 6k + 8) и (k^2 + 6k + 3) всегда положительны, что означает, что произведение (k + 1)(k + 2)(k + 3)(k + 6) всегда положительно.

Шаг 5: Вывод
Итак, мы успешно доказали неравенство ((k + 1) + 1)((k + 1) + 2)((k + 1) + 3)((k + 1) + 6) > 96(k + 1), используя предположение, базовый случай и шаги доказательства.

По методу математической индукции, мы показали, что неравенство (a + 1)(a + 2)(a + 3)(a + 6) > 96a выполняется при a > 0.