АЛГЕБРА Фигура, ограниченная линиями: y=x^3-1 y=0 x=1 x=0
Вычислите:
а) площадь фигуры, ограниченной заданными линиями;
б) объем тела, образованного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями.

а - первое число арифметической прогрессии

b - второе число арифметической прогрессии

c - третье число арифметической прогрессии

а+b+с = 9 -сумма членов ариф. прогрессии

Сумму членов ариф. прогрессии можно вычислить и по формуле

Sₓ = ((а+с)/2) * х

где х = 3 - количество членов ариф. прогрессии

S₃ = ((а+с)/2) *3 = 9

((а+с)/2) *3 = 9

((а+с)/2) = 9/3 =3

(а+с) = 3*2

а+с = 6

определим b - второй член ариф. прогресс.

а+b+с = 9

b = 9-а-с = 9-6 = 3 -второй член ариф. прогресс.

по условию задачи

(а + 1)  - первое число геометрической прогрессии

(b + 1) - второе число геометрической прогрессии

(с + 3) - третье число геометрической прогрессии

(а + 1) * (b + 1) * (с + 3) геометр. прогрессия

где b + 1 = 3+1 = 4 второй член геометр. прогрессии

второй член. геом. прогрессии вычисляется по формуле b₂=b₁*q ( где q - знаменатель геом. прогрессии)

следовательно:

b = (а+1) * q

4 = (а+1) * q

q = 4/(а+1)

выразим третий член геом. прогрессии (с + 3) по формуле b₃=b₂*q

(с + 3) = 4*q (подставим в формулу значение q = 4/(а+1))

с+3 = 4*4/(а+1)

с+3 = 16/(а+1)

с = (16/(а+1)) - 3общий знаменатель (а+1)

с = (16-3а-3) / (а+1)

с=(13-3а) / (а+1)

подставим значение с в формулу а+с = 6 (смотри в начале решения)

а + ((13-3а) / (а+1)) = 6 ---левую часть под общий знаменатель (а+1)

(а*(а+1) +13-3а) / (а+1) = 6

а² + а + 13 - 3а = 6*(а+1)

а²-2а+13 = 6а +6

а² - 8а + 7 = 0отсюда находим а = 1 - первый член ариф. прогр.

проверка1²- 8*1 + 7 = 0

т. к. а+с = 6, значит с = 6-а=6-1 = 5 - третий член ариф. прогрессии

итого: а = 1 - первый член ариф. прогр.

b=3 - второй член ариф. прогресс.

с = 5 - третий член ариф. прогрессии

проверка: а+b+с = 1+3+5= 9 -верно

(а + 1)=1+1 = 2  - первое число геометрической прогрессии

(b + 1) =3+1 = 4 - второе число геометрической прогрессии

(с + 3)=5+3 = 8 - третье число геометрической прогрессии

q = 4/(а+1) = 4/(1+1)= 2 -знаменатель геом. прогрессии

проверка: 2*2=44*2=8верно

Нужно вспомнить теорему Виета.
Согласно теореме Виета: х1+х2=а
х1*х2=свободный член, где х1 и х2 - корни уравнения квадратичного
х1^2+x2^2= а2-2(а+7)
По условию эта сумма квадратов равна 10, откуда получаем квадратичное уравнение а2-2а-14=10, корнями которого являются числа 6 и -4.
Нашли так. Вернемся к теореме Виета:
х1+х2=2
х1*х2=-24.. Вышло два корня:6, -4.
При решении квадратичного уравнения нужно помнить, что дискриминант должен быть положительным либо равным 0.
а2-4(а+7) больше либо равно 0. 
При а = 6 дискриминант исходного уравнения отрицательный:
х2-6х+13=0
D=36-52=-16, т.е. при а=6 - дискриминант отрицательный и корней уравнение не имеет
При а=-4:
х2+4х+3=0
D=16=4*3=4-положительный, т.е.при а = -4 положительный.
Т.Е. делаем вывод, что нам подходит а=-4