Задача 8 Выдающийся счетовод Ефим считает тройку различных целых положительных чисел интересной, если разность какой-то пары этих чисел составляет треть оставшегося и разность какой-то другой пары этих чисел составляет треть оставшегося.

Сколько существует интересных троек с суммой, не превышающей 2020?

ответ: существует таких троек.

А)3*q^(n-1)=768
   3*(1-q^n)=1023*(1-q)

q^(n-1)=256
(1-q^n)=341*(1-q)  или, что то же самое:  (q^n-1)=341*(q-1)
 Вероятно, все ж , q -целое, тогда  либо q=2  n=9
                                                          либо  4      n=5
                                                         либо 16      n=3
                                                                 256      n=2
Легко видеть, что годится только q=4 n=5
   ответ:   q=4    n=5
б)   243* (3^(-n)+1)=182*(1/3+1)
       243*(1-(-3)^(-n))=182*4/3
729 -3^6*(-3)^(-n)==728
(3^6)*(-3)^(-n)=1
ответ:
n=6
an=243*(-1/(3^5))=-1

 

Нехай за год перший робітник виконає завдання, а за год — другий. Тоді за одну годину перший робітник виконає усього завдання, а другий робітник — .

Два робітники, працюючи разом, можуть виконати завдання на 8 год швидше, ніж один перший робітник, тобто

Два робітники, працюючи разом, можуть виконати завдання на 18 год швидше, ніж один другий робітник, тобто

Складаємо систему з двох рівнянь:

Тут оскільки ліві частини рівнянь рівні.

Підставимо в перше рівняння:

Якщо , то — не відповідає сенсу задачі.

Якщо , то

Отже, за 20 год перший робітник виконає завдання, а за 30 год — другий.

Відповідь: 20 год і 30 год.