1. Первый каменщик выполнит работу за: T1 дней;
2. Второй каменщик выполнит работу за: T2 дней;
3. По условию задачи: T2 = (T1 - 4) дней;
4. Вместе они выполнят работу за: To = 4,8 дней;
5. Составляем уравнение выполнения работы двумя каменщиками:
1 / T1 + 1 / T2 = 1 / To = 1/ 4,8;
1 / T1 + 1 / (T1 - 4) = (2 * T1 - 5) / (T1 * (T1 - 4)) = 1/4,8;
4,8 * (2 * T1 - 4) = T1² - 4 * T1;
T1² - 13,6 * T1 + 19,2 = 0;
T11,2 = 6,8 +- sqrt(6,8² - 19,2) = 6,8 +- 5,2;
T11 = 6,8 - 5,2 = 3,6 дней (слишком быстро, To= 4,8 дней, не подходит);
T1 = 6,8 + 5,2 = 12 дней;
T2 = T1 - 4 = 12 - 4 = 8 дней.
ответ: первый каменщик выполнит работу за 12 дней, вторая за 8 дней.
Дана функция у = (х-1)²/x².
1.Область определения функции. D ∈ R : x ≈ 0.
2. Нули функции. Точки пересечения графика функции с осью ОХ.
График функции пересекает ось X при f = 0.
Значит, надо решить уравнение (х-1)²/x² = 0.
Решаем это уравнение (достаточно приравнять нулю числитель):
(х-1)² = 0, х-1 = 0, х = 1.
Точки пересечения с осью X: (1; 0).
График пересекает ось Y, когда x равняется 0.
Подставляем x = 0 в (x - 1)²/x².
Результат: (0 - 1)²/0² невыполним, значит, график не пересекает ось Оу.
3. Промежутки знакопостоянства функции.
Так как переменная в числителе и знаменателе в квадрате, то функция на всей числовой оси только положительна.
4. Симметрия графика (чётность или нечётность функции).
f(-x) = ((-x) - 1)²/((-x)²) = (x + 1)²/x² ≠ f(x) ≠ -f(-x).
Поэтому функция не чётная и не нечётная.
5. Периодичность графика. Не периодична.
6.Точки разрыва, поведение функции в окрестностях точек разрыва, вертикальные асимптоты - смотри приложение.
7. Интервалы монотонности функции, точки экстремумов, значения функции в точках экстремумов.
Первая производная: y' = (1/x²)*(2x - 2) - (2/x³)*(x - 1)²
или y' = (2x - 2)/x³.
Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю
(достаточно числитель): 2x-2 = 0
Откуда: x1 = 2/2 = 1.
(-∞ ;0) (0; 1) (1; +∞)
f'(x) > 0 f'(x) < 0 f'(x) > 0
функция возрастает функция убывает функция возрастает.
В окрестности точки x = 1 производная функции меняет знак с (-) на (+). Следовательно, точка x = 1 - точка минимума.
8. Интервалы выпуклости, точки перегиба.
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0.
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =
Вторая производная
\frac{1}{x^{2}} \left(2 - \frac{1}{x} \left(8 x - 8\right) + \frac{6}{x^{2}} \left(x - 1\right)^{2}\right) = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x_{1} = \frac{3}{2}
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
x_{1} = 0.
\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{1}{x^{2}} \left(2 - \frac{1}{x} \left(8 x - 8\right) + \frac{6}{x^{2}} \left(x - 1\right)^{2}\right)\right) = \infty.
\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1}{x^{2}} \left(2 - \frac{1}{x} \left(8 x - 8\right) + \frac{6}{x^{2}} \left(x - 1\right)^{2}\right)\right) = \infty.
- пределы равны, значит, пропускаем соответствующую точку.
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
(-oo, 3/2]
Выпуклая на промежутках
[3/2, oo)
9. Поведение функции в бесконечности. Наклонные (в частности, горизонтальные) асимптоты - смотри приложение.
10. Дополнительные точки, позволяющие более точно построить график - даны в приложении.
11. Построение графика функции по проведенному исследованию дан в приложении.
