D₁=(2p₁)²-4q₁=4p₁²-4q₁=4(p₁²-q₁)
D₂=(2p₂)²-4q₂=4(p₂²-q₂)
Условие
"если одно из них не имеет корней, то второе имеет корни" означает, что
если один дискриминат отрицателен, то одно квадратное уравнение не имеет корней, тогда второй дискриминат положителен и второе квадратное уравнение имеет два корня)
Пусть p₁²-q₁ < 0 Докажем, что
p₂²-q₂>0 при условии q₁+q₂=2p₁p₂
p₁²-q₁ < 0 ⇒ q₁ > p²₁ > 0
q₁+q₂=2p₁p₂ ⇒ p₂=(q₁+q₂)/2p₁
p₂²-q₂=(q₁+q₂)²/4p₁² - q₂ = (q₁²+2q₁q₂+q²₂-4p²₁q₂)/4p²₁=
=(q²₁+q²₂)/4p²₁ + 2q₂(q₁-2p²₁)/4p²₁
Первая дробь положительна. Вторая дробь тоже должна быть положительной
Так как
q₁ > p²₁ > 0
⇒q₁-2p²₁> p²₁-2 p²₁= - p²₁⇒ и тогда q₂ <0
D₂=4p²₂-q₂ >0
