Пловец Вася проплывает в бассейне целый километр за 20 минут. За какое время он проплывёт 500 м на реке, если её скорость течения равна v км/ч? а) Сколько времени Вася потратит при v = 2 км/ч? б) При каком значении параметра v Вася потратит 10 минут? в) При каком значении параметра v Вася потратит 15 минут? г) При каких значениях параметра v задача не имеет решения?

В решении.

Объяснение:

1.

а) b/√7 * √7/√7 = b√7/7;

б) 5/√x *√x/√x = 5√x/x;

в) 5/3√6 *√6/√6 = 5√6/3*6 = 5√6/18;

г) 12/7√2 *√2/√2 = 12√2/7*2 = 12√2/14 = 6√2/7;

д) 1/√3 * √3/√3 = √3/3;

е) 5/4√5 * √5/√5 = 5√5/4*5 = 5√5/20 = √5/4.

2.

а) 2/(√c+y) * (√c+y)/(√c+y) = 2(√c+y)/(c+y);

б) 6/(√5 + 1) * (√5 - 1)/(√5 - 1) =

в знаменателе развёрнутая разность квадратов, свернуть:

= 6(√5 - 1)/(√5)² - 1² =

= 6(√5 - 1)/(5 - 1) =

= 6(√5 - 1)/4 =

= 3(√5 - 1)/2;

в) с/(√a - √c) * (√a + √c)/(√a + √c) =

в знаменателе развёрнутая разность квадратов, свернуть:

= c(√a + √c)/(√a)² - (√c)² =

=  c(√a + √c)/(a - c);

г) k/(x + √k) * (x - √k)/(x - √k) =

в знаменателе развёрнутая разность квадратов, свернуть:

= k(x - √k)/(x² - (√k)²) =

= k(x - √k)/(x² - k);

д) 5/(√13 + √3) * (√13 - √3)/(√13 - √3) =

в знаменателе развёрнутая разность квадратов, свернуть:

= 5(√13 - √3)/(√13)² - (√3)² =

= 5(√13 - √3)/(13 - 3) =

= 5(√13 - √3)/10 =

= (√13 - √3)/2;

е) 6/(5 - 2√6) * (5 + 2√6)/(5 + 2√6) =

в знаменателе развёрнутая разность квадратов, свернуть:

= 6(5 + 2√6)/(5² - (2√6)²) =

= 6(5 + 2√6)/(25 - 4*6) =

= 6(5 + 2√6)/1 =

= 6(5 + 2√6).

Вспомним, что процентная концентрация или массовая доля w растворенного вещества Х в растворе - это отношение массы растворенного вещества m(Х) к массе раствора m(раствора):
w = m(X) / m(раствор)
Она часто задается в процентах:
w = m(X) / m(раствор) * 100%

1 случай. 
Масса m1 кислоты в получившемся растворе: m1 = 2 w1 + 6 w2, где w1 и w2 - массовые доли кислоты в первом (2 кг) и втором (6 кг) растворе.
Массовая доля w3 кислоты в получившемся растворе равна по условию  0,36.
И она же равна w3 = m1 / (2 + 6) = m1 / 8 = (2 w1 + 6 w2) / 8 = 0.36
( [2+6] в знаменателе - это масса получившегося раствора [2 кг+6 кг])
 
2 случай
Возьмем для определенности равные массы, равные 1 кг.
Масса m2 кислоты в получившемся растворе: m2 = w1 + w2 
Массовая доля w4 кислоты в полученном растворе равна по условию 0,32.
И она же равна w4 = m2 / 2 = (w1 + w2) / 2 = 0.32
(2 в знаменателе - это масса получившегося раствора [1 кг + 1 кг] )  

Получаем систему уравнений относительно w1 и w2:
(2 w1 + 6 w2) / 8 = 0.36
(w1 + w2) / 2 = 0.32

2 w1 + 6 w2 = 2.88
w1 + w2 = 0.64

Из второго уравнения w1 = 0.64 - w2
Подставляем это выражение для w1 в первое уравнение:
2 (0,64 - w2) + 6 w2 = 2.88
1.28 - 2 w2 + 6 w2 = 2.88
1.28 + 4 w2 = 2.88
4 w2 = 1.6
w2 = 0.4 = 40%
Отсюда w1 = 0.64 - w2 = 0.64 - 0.4 = 0.24 = 24%

ответ: концентрация первого раствора - 24%, второго раствора - 40%

Проверка:
(2*0,24 + 6*0,4) / 8 = 0,36 = 36%
0,24 + 0,4 / 2 = 0,32 = 32%

Примечание.
Во втором случае можно брать не по одному килограмму, а по х килограммов раствора. Но это дела не меняет:
m2 = x w1 + x w2  
w4 = m2 / (x + x) = (x w1 + x w2) / 2x = x(w1 + w2) / 2x = (w1 + w2) / 2
(х + х) - это масса получившегося раствора.
Как видим, х сокращается, и получаем тот же результат:
w4 = (w1 + w2) / 2