В коробке лежат бусинки, различаются только цветом. Общее их количество 48 шт., из них красных — 13 шт., зелёных — 14 шт., голубых — 13 шт. Кроме того, есть ещё чёрные и белые. Найди минимальное необходимое количество бусин, которое надо достать, чтобы среди них гарантированно оказалось 9 шт. одного цвета.

Это задача на наибольшее(наименьшее) значение функции. План наших действий:
1) ищем производную
2) приравниваем её к нулю, решаем получившееся уравнение
3) смотрим: какие корни попали в указанный промежуток 
4) вычисляем значения данной функции в этих корнях и на концах промежутка.
5) пишем ответ 
начали?
1) y' = 2Сosx + 24/π
2) 2Сosx + 24/π = 0
2Сosx -= - 24/π
Сosx  = - 12/π
нет решений
3) решений нет, значит, в функцию подставим концы промежутка и найдём из ответов наибольшее значение.
4) а) х = -5π/6
у = 2Sin(-5π/6) +24*(-5π/6)/π + 6 = -2*1/2 - 20 +6 = -1 -20 +6 = -13
     б) х = 0
у = 0+0 +6 = 6
ответ: max y = 0

S(1)=1,   S(2)=1+3=4,   S(3)=1+3+5=9,   S(4)=1+3+5+7=16,  S(5)=….=25,

Замечаем, что сумма первых   n  нечётных чисел натурального ряда равна   n2  т.е.     S(n)=n2.  Докажем это м.м.и.

1) для   n =1  формула верна.

2) предположим, что она верна для какого-нибудь натурального   n=k  , т.е. S(k)= k2. 

  Докажем , что тогда она будет верна и для   n=k+1,   т.е.  S(k+1)=(k+1)2

S(k+1)=1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)=S(k)+(2k+1)=k2+2k+1=(k+1)2.

      Следовательно, формула  верна  для  всех  натуральных  значений  n ,        т.е.  S(n)=n2