(x^4 - 2x^3 + x^2)/(x^2 + x - 2) - (2x^3 + x^2 + x - 1)/(x + 2) <= 1.
Вынесем x^2 в числителе первой дроби:
x^2(x^2 - 2х + 1)/(x^2 + x - 2) - (2x^3 + x^2 + x - 1)/(x + 2) <= 1.
Разложим на множители x^2 - 2х + 1: по теореме Виета х1 + х2 = 2; х1 * х2 = 1. Корни равны 1 и 1. Получается x^2 - 2х + 1 = (х - 1)^2.
Разложим на множители x^2 + x - 2: по теореме Виета х1 + х2 = -1; х1 * х2 = -2. Корни равны -2 и 1. Получается x^2 + x - 2 = (х - 1)(х + 2).
Неравенство приобретает вид x^2(х - 1)^2/(х - 1)(х + 2) - (2x^3 + x^2 + x - 1)/(x + 2) <= 1.
Скобка (х - 1) сокращается, получается x^2(х - 1)/(х + 2) - (2x^3 + x^2 + x - 1)/(x + 2) <= 1.
Приводим к общему знаменателю: (x^2(х - 1) - (2x^3 + x^2 + x - 1))/(x + 2) <= 1;
(x^3 - х^2 - 2x^3 - x^2 - x + 1)/(x + 2) <= 1;
(-x^3 - 2х^2 - x + 1)/(x + 2) <= 1.
Переносим 1 в левую часть и приводим к общему знаменателю:
(-x^3 - 2х^2 - x + 1)/(x + 2) - 1 <= 0;
(-x^3 - 2х^2 - x + 1 - х - 2)/(x + 2) <= 0;
(-x^3 - 2х^2 - 2x - 1)/(x + 2) <= 0.
Вынесем (-1) из числителя и умножим неравенство на (-1):
-(x^3 + 2х^2 + 2x + 1)/(x + 2) <= 0;
(x^3 + 2х^2 + 2x + 1)/(x + 2) >= 0.
Разложим знаменатель на множители:
x^3 + 2х^2 + 2x + 1 = (x^3 + 1) + (2х^2 + 2x) = (х + 1)(х^2 - х + 1) + 2х(х + 1) = (х + 1)(х^2 - х + 1 + 2х) = (х + 1)(х^2 + х + 1).
Получается неравенство (х + 1)(х^2 + х + 1)/(x + 2) >= 0.
Решим неравенство методом интервалов:
Найдем корни неравенства:
х + 1 = 0; х = -1.
х^2 + х + 1 = 0; D = 1 - 4 = -3 (нет корней).
х + 2 = 0; х = -2.
Расставляем знаки неравенства: (+) -2 (-) -1 (+).
Так как неравенство имеет знак >= 0, то решением неравенства будут промежутки (-∞; -2] и [-1; +∞).
Решение / ответ:
1) 5x¹⁷ ÷ x¹³ - 16x⁴ =
= 5x¹⁷⁻¹³ - 16x⁴ =
= 5x⁴ - 16x⁴ =
= - 11x⁴.
При x = - 1,
- 11x⁴ = - 11 × (- 1)⁴ = - 11 × 1 = - 11.
2) - 33y⁶ ÷ y⁴ + 37y² =
= - 33y⁶⁻⁴ + 37y² =
= - 33y² + 37y² =
= 4y².
При y = 0,5 ,
4y² = 4 × (0,5)² = 4 × 0,25 = 1.
3) 15z⁹ ÷ z⁶ - 160z³ =
= 15z⁹⁻⁶ - 160z³ =
= 15z³ - 160z³ =
= - 145z³.
При z = - 0,5 ,
- 145z³ = - 145 × (- 0,5)³ = - 145 × (- 0,125) =
= 18,125.
4) 250t⁸ ÷ t⁵ + 6t³ =
= 250t⁸⁻⁵ + 6t³ =
= 250t³ + 6t³ =
= 256t³.
При t = - 4t,
t = - 4t;
t + 4 t = 0;
5t = 0;
t = 0 ÷ 5;
t = 0.
256t³ = 256 × (0)³ = 256 × 0 =
= 0.
Удачи! :)
