Прямая у=5х + 14 является касательной графику функций у=х^3 - 4x^2 + 9x + 14. Найти абциссу точки касания. Я нашла решение этого задания, где в начале нужно найти производную, получилось так y`=3x-8x+9=5. Вопрос, откуда цифра 5?

Х - длина первого катета
972/х - длина второго катета
Уравнение
По теореме Пифагора
х² + (972/х)² = 45²
Сделаем подстановку x² = t , тогда
t + 972²/t = 45²
t² + 944 784 = 2025t
t² - 2025t + 944 784 = 0
D = (-2025)² - 4*1*944 784 = 4 100 625 - 3 779 136 = 321 489
√D = √321 489 = 567
t = (2025 + 567)/2 = 1296
x² = 1296
x = √1296 = 36
x = - 36 не удовлетворяет, т.к. отрицательное
t = (2025 - 567)/2 = 729
x² = 729 
x = √729 = 27
x = - 27 не удовлетворяет, т.к. отрицательное
Итак, при х = 36см второй катет равен:
972/36 = 27см
При х = 27 смвторой катет равен
972/27 = 36 см 
ответы {36см;  27см} и {27см; 36см} взаимообратны, поэтому
ответ: 27см;  36см

x² +x-5  +      3x         +4 =0
     x           x²+x-5

ОДЗ:
х≠0
х²+х-5≠0
D=1+20=21
x1≠ -1 -√21
             2
x2 ≠ -1+√21 
             2

Пусть у= x² +x-5       и     1  =      x       
                    x                      y      x²+x-5

y +  3  +4  =0
       y
ОДЗ: у≠0
y² +3+4y=0
y²+4y+3=0
D=16-12=4
y1= -4-2  = -3
          2
y2 = -4+2 = -1
           2

При у= -3
x² +x-5 = -3
     x
x² +x-5 = -3x
x² +x+3x-5=0
x²+4x-5=0
D=16+20=36
x1= -4 -6 = -5
           2
x2 = -4+6 = 1
            2

При у= -1
x² +x-5 = -1
      x
x² +x-5 = -x
x² +x+x-5=0
x² +2x-5=0
D=4+20=24
x1= -2-√24 = -2 - 2√6 = -1 - √6
           2             2
x2 = -1 +√6

ответ: -5;    -1-√6;    -1;     -1+√6