( m2−3m+9/9m2−1 ⋅ 3m2+m/m3+27 − m+3/3m2−m):5/m2+3m − 15m+6/5−15m.

В треугольнике основание и высота в сумме составляет 20 см. Вычислите длину основания, при котором площадь 
треугольника будет наибольшей.
S= (a·h)/2,     a+h=20  ⇒a=20-h,   ⇒  S= (20-h)h/2.
 
Исследуем на экстремум S= (20-h)h/2 =10h-h²/2

Найдем производную: S¹=10-h,  
найдем нули производной: 10-h=0,  h=10,
найдем значение S при h=10:   S(10)= (20-10)·10/2 =50.

УСТАНОВИМ КАКОЙ ЭКСТРЕМУМ ДОСТИГАЕТ S при h=10.

10-h>0 при h <10 ⇔ S= (20-h)h/2  - возрастает, и
10-h<0 при h <10 ⇔ S= (20-h)h/2  - убывает,  

  
   S¹>0      "+"                     S¹<0        "-"
   S- возрастает,                S-убывает,    
(10)
                               max

Таким образом, площадь 
треугольника будет наибольшей при h=10, S(10)=50.

Сумма первых n членов последовательности {cn} определяется по формуле Sn = 5^n/2^n+3^n. Запишите первые три члена этой последовательности

S₁=5¹/2¹ +3¹= 5/2+6/2 =11/2, но  S₁=a₁, ⇒                                
 a₁=11/2.

S₂=5²/2² +3²=25/4+9=61/4,       S₂=a₁+a₂  ⇒
                                                 a₂=S₂-a₁=61/4 -11/2= (61-22)/4=39/4,  ⇒  a₂=39/4.

S₃=5³/2³ +3³=125/8+27=(125+27·8)/8=341/8,   S₃=(a₁+a₂)+a₃ ⇒

   a₃=S₃-(a₁+a₂)=S₃-S₂=341/8 - 61/4=(341-2·61)/8=219/8,  ⇒  

a₃=219/8.