Добыча угля в некоторой шахте сначала уменьшилась на 20%, а затем повысилась на 20%. Увеличилась или уменьшилась добыча угля вследствие этого по сравнению с начальным уровнем и на сколько процентов?
Решение
Пусть х т - начальный уровень добычи угля
100%-20%=80% - уровень добычи угля после уменьшения в процентах
80% от х т = 0.8х т - уровень добычи угля после уменьшения в тоннах
100%+20%=120% - уровень добычи угля после увеличения в процентах
120% от 0.8х т = 1,2 · 0,8х = 0,96х т - уровень добычи угля после увеличения в тоннах
Сравнивая начальный уровень добычи угля х т и уровень добычи угля после уменьшения и увеличения в тоннах 0,96х т, получаем
х - 0,96х = 0,04х
х т -- 100%
0,04х т -- у%
%
ответ: добыча угля уменьшилась на 4%
Рішення
Нехай х т - початковий рівень видобутку вугілля
100%-20%=80% - рівень видобутку вугілля після зменшення у відсотках
80% від х т = 0.8 х т - рівень видобутку вугілля після зменшення в тоннах
100%+20%=120% - рівень видобутку вугілля після збільшення у відсотках
120% від 0.8 х т = 1,2 · 0,8 х = 0,96 х т - рівень видобутку вугілля після збільшення в тоннах
Порівнюючи початковий рівень видобутку вугілля х т і рівень видобутку вугілля після зменшення і збільшення в тоннах 0,96 х т, отримуємо
х - 0,96 х = 0,04 х
х т -- 100%
0,04 х т -- у%
%
Відповідь: видобуток вугілля зменшився на 4%
Доказать, что (b³ +35b) кратно 6 при любом целом b.
Докажем методом математической индукции.
1) Пусть b=1, тогда
1³ + 35·1 = 36
36 : 6 = 6 =>
36 делится нацело на 6, значит, при b=1 утверждение верно.
2) Допустим, что при b=k утверждение верно, т.е.
значение выражения (k³ +35k) делится нацело на 6.
3) Проверим справедливость утверждения при b=k+1.
(k+1)³+35·(k+1) =
= (k³ + 3k² + 3k + 1) + 35k + 35 =
= (k³+35k) + (3k² + 3k) + 36 =
= (k³+35k) + 3k(k+1) + 36
- Первое слагаемое (k³+35k) делится на 6 без остатка по допущению из второго пункта.
- Второе слагаемое 3k(k+1) делится на 6 без остатка, т.к.
среди его множителей есть множители числа 6, это 3 и 2.
Одно из двух последовательных чисел k и (k+1) будет четным.
(Если k нечетно, следующее за ним (k+1) четно.
И наоборот, Если k четно, следующее за ним (k+1) нечетно.)
- Третье слагаемое 36 делится на 6 без остатка.
Если каждое слагаемое делится на 6 без остатка, то и вся сумма (k+1)³+35·(k+1) делится на 6 без остатка. .
Таким образом доказано утверждение о том, что (b³ +35b) кратно 6 при любом целом b.
