докажем утверждение от противного.
можно предположить, что для любых двух разных точек a и b из s найдется отличная от них точка x из s такая, что либо xa < 0,999ab, либо xb < 0,999ab.
переформулируем утверждение: для любого отрезка i с концами в s и длиной l найдется отрезок i′ с концами в s длины не более 0,999l, один из концов которого совпадает с некоторым концом i.
или, иначе говоря, i′ пересекает i.
возьмем теперь первый отрезок i1 длины l и будем брать отрезки i2, i3, …так, что ik + 1 пересекается с ik и |ik + 1| < 0,999|ik|.
все эти отрезки имеют концы в s. ломаная не короче отрезка, соединяющего ее концы, поэтому расстояние от любого конца ik до любого конца i1 не превосходит
следовательно, в квадрате 2000l × 2000l с центром в любом из концов i1 лежит бесконечное число точек s.
но из условия следует конечность их числа в любом квадрате.
Пусть первая бригада, работая одна, выполняет работу за x часов; тогда второй бригаде на выполнение всей работы потребуется (x+10) часов.
Соотвественно, производительность труда первой бригады равна (1/x) (1/час), второй бригады — (1/(x+10)) (1/час).
За 12 часов обе бригады, работая совместно, выполнят всю работу (т. е. 1). Получаем уравнение:
12*(1/x + 1/(x+10)) = 1.
Умножаем левую и правую части на x(x+10):
12(x+10) + 12x = x(x+10);
x² + 10x − 24x − 120 = 0;
x² − 14x − 120 = 0.
Выбираем положительное значение x:
x = 7 + √(49+120) = 20.
Значит, первой бригаде для выполнения всей работы потребуется 20 часов, а второй бригаде — 20+10=30 часа.
Проверяем: 12*(1/20+1/30) = 12*(5/60) = 1 (Ok).
ОТВЕТ: первой бригаде для выполнения этой работы потребовалось бы 20 часов.
