Докажите, что для любого n∈N справедливо равенство
1*2+2*3*n*2+...+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3

По индукции.

Пусть сумма S(n).

для n=1 утверждение , очевидно, верно  S(1)=2.  Пусть оно верно для  n

Остается доказать, что  (n+1)(n+2)(n+3)/3 -n(n+1)(n+2)/3=(n+1)*(n+2)

Действительно :

(n+1)(n+2)(n+3)/3 -n(n+1)(n+2)/3=((n+1)(n+2)/3)*(n+3-n)=(n+1)(n+2) ,

что и требуется