Для решения данной задачи, мы должны проанализировать разность между последовательными членами последовательности. Для этого выразим члены последовательности и вычислим их разность:
yn = n^2 / (5n)
yn+1 = (n+1)^2 / (5(n+1))
yn+1 - yn = (n+1)^2 / (5(n+1)) - n^2 / (5n)
Сокращаем дроби и раскрываем скобки:
yn+1 - yn = ((n^2 + 2n + 1) - (n^2)) / (5(n+1)n)
yn+1 - yn = (2n + 1) / (5(n+1)n)
Теперь выразим итоговое выражение в виде неравенства для проверки монотонности:
yn+1 - yn > 0 для монотонного возрастания
Или
yn+1 - yn < 0 для монотонного убывания
Теперь подставим выражение для yn+1 - yn:
(2n + 1) / (5(n+1)n) > 0 для монотонного возрастания
Или
(2n + 1) / (5(n+1)n) < 0 для монотонного убывания
Выражение (2n + 1) всегда положительное, так как n является положительным числом. Значит, нам нужно рассмотреть знак выражения (5(n+1)n), чтобы определить знак выражения в левой части неравенства.
(5(n+1)n) является произведением трех множителей: 5, (n+1) и n. Заметим, что n и (n+1) всегда положительные числа, так как они являются последовательными натуральными числами. Значит, нам остается только рассмотреть знак множителя 5.
Если 5 является положительным числом, то знак выражения (5(n+1)n) будет положительным. Это означает, что итоговое выражение (2n + 1) / (5(n+1)n) > 0 является истинным и последовательность является монотонной и возрастающей.
Если 5 является отрицательным числом, то знак выражения (5(n+1)n) будет отрицательным. Это означает, что итоговое выражение (2n + 1) / (5(n+1)n) < 0 является истинным и последовательность является монотонной и убывающей.
Поскольку в задаче отсутствует информация о знаке множителя 5, мы не можем точно определить, является ли последовательность монотонной. Следовательно, правильный ответ будет: последовательность не является монотонной.
1. Запишите основание и показатель степени:
а) Для числа 37 основание равно 3, а показатель степени равен 7.
б) Для числа 13 основание равно 13, а показатель степени равен 1.
в) Для числа 121 основание равно 11, а показатель степени равен 2.
2. Представьте в виде произведения степень:
а) Чтобы представить число 126 в виде произведения степени, сначала нужно разложить его на простые множители: 126 = 2 * 3 * 3 * 7. Теперь можно записать его в виде произведения степени: \(126 = 2^1 \cdot 3^2 \cdot 7^1\).
б) Число а^5 уже представлено в виде степени.
в) Чтобы представить число (-5)^3 в виде степени, нужно учесть, что отрицательное число возведенное в четную степень дает положительный результат. Таким образом, (-5)^3 = -(5^3) = -125.
3. Представьте в виде степени произведение:
а) Произведение 7 * 7 * 7 * 7 * 7 можно представить в виде степени 7^5.
б) Произведение (-3)(-3)(-3) можно представить в виде степени (-3)^3.
в) Произведение \(a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a\) можно представить в виде степени \(a^6\).
г) Произведение \(x \cdot x \cdot x\) можно представить в виде степени \(x^3\).
