1) Найти экстремум y ＝ x³ + 10x² + 10.
y' = 3x² + 20x = x(3x + 20) = 0.
Отсюда имеем 2 критические точки: х = 0 и х = -20/3.
Находим знаки производной на промежутках:
х = -7 -6,6667 -1 0 1
y' = 7 0 -17 0 23.
В точке х = -20/3 максимум (локальный), в точке х = 0 минимум.
2) Найти У наиб. и У наим. y＝x³ - 3x + 10 на промежутке [-3，2].
y' = 3x² - 3 = 3(x² - 1) = 0. Отсюда х = +-1.
Находим знаки производной на промежутках:
x = -2 -1 0 1 2
y' = 9 0 -3 0 9.
В точке х = -1 максимум, у = (-1)³ - 3*(-1) + 10 = -1 + 3 +1 0 = 12.
В точке х = 1 минимум, у = 1³ - 3*1 + 10 = 8.
х км/ч - собственная скорость катера;
(х + 2) км/ч - скорость катера по течению реки;
(х - 2) км/ч - скорость катера против течения реки.
16/(х + 2) ч - время прохождения катером 16 км по течению реки;
12/(х - 2) ч - время прохождения катером 12 км против течения реки.
На весь путь катер затратил (16/(х + 2) + 12/(х - 2)) ч или 5 ч.
Получается уравнение 16/(х + 2) + 12/(х - 2) = 5.
О. Д. З. х ≠ ±2;
16(х - 2) + 12(х + 2) = 5(х² - 4);
16х - 32 + 12х + 24 = 5х² - 20;
28х - 8 = 5х² - 20;
5х² - 28х - 20 + 8 = 0;
5х² - 28х - 12 = 0;
D = b² - 4ac;
D = (-28)² - 4 * 5 * (-12) = 1024; √D = 32;
x = (-b ± √D)/(2a);
x1 = (28 + 32)/(2 * 5) = 60/10 = 6 (км/ч);
х² = (28 - 32)/10 = -0,4 - скорость не может быть отрицательной.
ответ. 6 км/ч
