Будь ласка Доведіть що функція y=1/x+4 спадає на проміжку -4,+ бескінечність

Функции  и построить ее график.

1) Функция определена всюду, кроме точек .

2) Функция нечетная, так как f(-x) = -f(x), и, следовательно, ее график симметричен относительно начала координат. Поэтому ограничимся исследованием только для 0 ≤ x ≤ +∞.

3) Функция не периодическая.

4) Так как y=0 только при x=0, то пересечение с осями координат происходит только в начале координат.

5) Функция имеет разрыв второго рода в точке , причем , . Попутно отметим, что прямая  – вертикальная асимптота.

6) Находим  и приравниваем ее к нулю: , откуда x1 = -3, x2 = 0, x3 = 3. На экстремум надо исследовать только точку x=3 (точку x2=0 не исследуем, так как она является граничной точкой промежутка [0, +∞)).

В окрестности точки x3=3 имеет: y’>0 при x<3 и y ’<0 при x>3, следовательно, в точке x3 функция имеет максимум, ymax(3)=-9/2.

Найти первую производную функции

Для проверки правильности нахождения минимального и максимального значения.

7) Находим . Видим, что y’’=0 только при x=0, при этом y”<0 при x<0 и y”>0 при x>0, следовательно, в точке (0,0) кривая имеет перегиб. Иногда направление вогнутости может измениться при переходе через разрыв кривой, поэтому следует выяснить знак y” и около точек разрыва функции. В нашем случае y”>0 на промежутке (0, ) и y”<0 на (, +∞), следовательно, на (0, ) кривая вогнута и выпукла на (, ∞).

Найти вторую производную функции

8) Выясним вопрос об асимптотах.

Наличие вертикальной асимптоты  установлено выше. Ищем горизонтальные: , следовательно, горизонтальных асимптот нет.

Найдем наклонные асимптоты: , , следовательно, y=-x – наклонная двусторонняя асимптота.

9) Теперь, используя полученные данные, строим чертеж:

a)y=1,2x-6

Если график функции пересекается с осью Ох, то координата у=0, вот и подставляем в функцию вместо у=0 и находим х.

  0= 1,2x-6

 1,2x=6 

  х=5   получается точка  (5,0)

Если  график функции пересекается с осью Оу, то координата х=0, вот и подставляем в функцию вместо х=0 и находим у

.  y=1,2*0-6 

   у=-6   получается точка (0,-6)

b)y=-1/4x+2     Делаем аналогично

С осью  Ох:  у=0

      0=-1/4x+2  

      1/4x=2  

        х=8          (8,0)

С осью  Оу:  х=0

      у=-1/4*0+2  

       у=2          (0,2)

c)y=2,7x+3

С осью  Ох:  у=0

   0=2,7x+3 

      2,7x=-3 

            х=1   1/9 ( это одна целая одна девятая)      ( 1   1/9, 0)

С осью  Оу:  х=0

 y=2,7*0+3 

у=3                         (0,3)