Является ли арифметической прогрессией последовательность ( an), которая задана формулой:
​

x⁵+8x⁴+24x³+35x²+28x+12=0

Следствие из теоремы Безу гласит: "если многочлен с целыми коэффициентами имеет целый корень, то этот корень является делителем свободного члена".

Тогда корень данного уравнения находится среди делителей числа 12, то есть: ±1; ±2; ±3; ±4; ±6; ±12.

Подставляя значения в уравнения, получим, что x=-2 - корень уравнения.

Составим схему Горнера:

   | 1 | 8 | 24 | 35 | 28 | 12 |

————————————

-2 | 1 | 6 | 12 | 11 |  6  |  0  |

Теперь можем разложить на множители исходное уравнение:

(x⁴+6x³+12x²+11x+6)(x+2)=0

Далее действия аналогичные:

Находим корень уравнения x⁴+6x³+12x²+11x+6=0 среди делителей его свободного члена: ±1; ±2; ±3; ±6.

Подставляя значения в уравнение x⁴+6x³+12x²+11x+6=0, получим, что x=-2 - корень уравнения.

Составляем схему Горнера:

   | 1 | 6 | 12 | 11 | 6 |

—————————

-2 | 1 | 4 |  4  | 3 |  0 |

Теперь получим такое уравнение:

(x³+4x²+4x+3)(x+2)²=0

Находим корень уравнения x³+4x²+4x+3=0 среди делителей его свободного члена: ±1; ±3.

Подставляя значения в уравнение x³+4x²+4x+3=0, получим, что x=-3 - корень уравнения.

Составляем схему Горнера:

   | 1 | 4 | 4 | 3 |

———————

-2 | 1 | 1 | 1 | 0 |

Получим такое уравнение:

(x²+x+1)(x+2)²(x+3)=0

x²+x+1=0  или  (x+2)²=0  или  x+3=0

    ∅                   x=-2                x=-3

ответ: -3; -2.

1)x>15/(x+2)
(x²+2x-15)/(x+2)>0
x²+2x-15=0⇒x1+x2=-2 U x1+x2=-15⇒x1=-5 U x2=3
x+2=0⇒x=-2
 _          +              _                +

         -5          -2                  3
x∈(-5;-2) U (3;∞)
2)(x²-2x+6)/(x+1)>x
(x²-2x+6-x²-x)/(x+1)>0
(6-3x)/(x+1)>0
6-3x=0⇒3x=6⇒x=2
x+1=0⇒x=-1
     _          +                _

           -1            2
x∈(-1;2)
3)(6x²-15x+19)/(3x²-6x+7)<2
(6x²-15x+19-6x²+12x-14)/(3x²-6x+7)<0
(5-3x)/(3x²-6x+7)<0
5-3x=0⇒3x=5⇒x=5/3
3x²-6x+7=0
D=36-84=-48<0⇒3x²-6x+7>0 при любом х
5-3x<0
x>5/3
x∈(5/3;∞)