По свойству арифметической прогрессии:
У нас известно 2 члена арифметической прогрессии, составим из них систему и найдем 
и 
:
Выражаем ихз первого и получаем:
Подставляем во второе и получаем:
Подставляем d в выражение для и получаем:
Теперь напишем формулу для суммы n членов арифметической прогрессии:
теперь подставляем в это выражение найденные числа и получаем:
Получилась функция, которая зависит от n.
Нужно найти ее максимум:
Поскольку это парабола ветви которой направлены вниз (потому что перед 
стоит отрицательный коэффициент), то максимумом у нее будет точка, где производная принимает значение равное 0.
Найдем производную по n от этой функции:
Получим:
Теперь надо найти где она равно 0.
Решаем уравнение: 
получаем: 
Теперь осталось выяснить какое n нам взять. n=28 или n=29.
Для этого надо просто вычислить значение суммы при n=28 и при n=29
Как мы видим S(29)>S(28),
значит при n=29 сумма принимает максимальное значение равное 1653
ответ: максимальное значение суммы первых n членов арифметической прогрессии равно 1653 и достигается при n=29
1)sinxcosx+2sin^2 x=cos^2 x
sinxcosx+2sin^2 x-cos^2 x=0 |:cos^2 x; cos^2 x не равно 0
tgx+2tg^2 x-1=0
2tg^2 x+tgx-1=0
tgx=t
2t^2+t-1=0
D=1+8=9
t1=(-1+3)/4=1/2
t2=(-1-3)/4=-1
tgx=1/2
x=arctg1/2+pk; k принадлежит Z
или
tgx=-1
x=-p/4+pk; k принадлежит Z
2)3sin^2x-4sinxcosx+5cos^2x=2
3sin^2 x-4sinxcosx+5cos^2 x-2=0
3sin^2 x-4sinxcosx+5cos^2 x-2sin^2 x-2cos^2x=0 |:cos^2 x; cos^2 x не равно 0
3tg^2 x-4tgx+5-2tg^2 x-2=0
tg^2 x-4tgx+3=0
tgx=t
t^2-4t+3=0
D=16-12=4
t1=(4+2)/2=3
t2=(4-2)/2=1
tgx=3
x=arctg3+pk; k принадлежит Z
или
tgx=1
x=p/4+pk; k принадлежит Z
