Выясните при каких значениях x производная функции f (x)=x + sinx равна нулю

График    расположен выше оси ОХ.
Точки пересечения с осью ОХ:   .
Графики функций   - это параболы , ветви
которых направлены вниз, а вершины в точках (0, а).
При х=0  sin0=0 и точка (0,0) является точкой пересечения 
графика у=|sinx| и оси ОУ, на которой находятся вершины парабол.
При а=0 графики y=|sinx| и y=x² имеют одну точку пересе-
чения - (0,0), при а<0  точек пересе-
чения вообще нет. А при а>0 будет всегда 2 точки пересе-
чения этих графиков и соответственно, будет выполняться
заданное неравенство.
То есть одна точка пересечения при а=0.
ответ:  а=0.

Положим что наше число четное , то есть  , тогда 
  то есть остаток от деления на  равен , для второго  , и очевидно либо число делится, либо остаток равен  , то есть запишем  все формально 
 , так как остатки различные , а остатки при делений числа  равны  , но в первом так же равна  , отсюда и остаток  .
Далее 
, где  остаток ,положим что он равен  , тогда переходим к уравнению  
  , но число  ,  то есть такой остаток не возможен , положим что он равен  
  видно что такие числа  существуют. 
Теперь видим зависимость что остатки будут первым  четными числами 
 
ответ