Визнач найбільше значення функції y=√x+2-2 на відрізку [−2;−1].

Дана функция  f(x) = x³  - 3x²  + 12.
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
x³ - 3 x² + 12 = 0.
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение даёт 2 комплексных и один действительный корень:

Численное решение
x_{1} = -1,6128878.

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^3 - 3*x^2 + 12.
0^{3} - 0 + 12.
Результат:
f(0) = 12.
Точка:
(0, 12).

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
{d}{dx} f(x) = 0. (производная равна нулю),  и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
3x² - 6x = 0 или 3х(х - 2) = 0.
Решаем это уравнение.
Корни этого уравнения:
x_{1} = 0.
x_{2} = 2.
Значит,  экстремумы в точках:
(0, 12)
(2, 8)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
x_{2} = 2.
Максимумы функции в точках:
x_{2} = 0.
Убывает на промежутках (-oo, 0] U [2, oo).
Возрастает на промежутках [0, 2].

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
{d^{2}}{d x^{2}} f(x ) = 0, (вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции: {d^{2}}{d x^{2}} f(x) = 6х - 6.
Вторая производная 6(х - 1) = 0.
Решаем это уравнение.
Корни этого уравнения x_{1} = 1.

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
вогнутая на промежутках [1, oo),
выпуклая на промежутках (-oo, 1].

Горизонтальные асимптоты найдём с пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
\lim_{x \to -\infty}\left(x^{3} - 3 x^{2} + 12\right) = -∞.
Значит, горизонтальной асимптоты слева не существует.
\lim_{x \to \infty}\left(x^{3} - 3 x^{2} + 12\right) = ∞.
Значит, горизонтальной асимптоты справа не существует.

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^3 - 3*x^2 + 12, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(x^{3} - 3 x^{2} + 12\right)\right) = ∞.
Значит, наклонной асимптоты слева не существует.
\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(x^{3} - 3 x^{2} + 12\right)\right) = ∞.
Значит, наклонной асимптоты справа не существует.

Проверим функци чётна или нечётна с соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
\^{3} - 3 x^{2} + 12 = - x^{3} - 3 x^{2} + 12
- Нет.
x^{3} - 3 x^{2} + 12 = - -1 x^{3} - - 3 x^{2} - 12
- Нет.
значит, функция не является ни чётной, ни нечётной.

График дан в приложении.

1) 
Условие существования логарифма: 3x + 1 > 0 ⇒ x > , x > 1 ⇒ x > 1. 
По свойству логарифма: logₐb - logₐc = logₐ при условии существования логарифмов. В нашем случае это тоже работает: данные логарифмы десятичные, значит, в основании 10. Вспомним, что  (также при условии существования логарифма). Сразу вычислим lg1 - чтобы получить из 10 1, нужно 10 возвести в нулевую степень, значит, что 0. Тогда наше уравнение равносильно такому: 

Т.к. логарифмическая функция каждое свое значение принимает единожды, 

Мы уже ставили условие, что x - 1 > 0, тогда 
3x + 1 = (x - 1)²
3x + 1 = x² - 2x + 1
x² - 5x = 0
x(x - 5) = 0 
x = 0 или x = 5. 
Вспоминаем, что x > 1, и получаем x = 5. 

ответ: 5. 

2) 25ˣ - 6 * 5ˣ = -5
Знаем, что 25 = 5², значит, уравнение принимает такой вид: 
(5²)ˣ - 6 * 5ˣ = -5
По свойству дробей (5²)ˣ раскрывается, как 5²ˣ, и можем представить в виде (5ˣ)², значит, 
(5ˣ)² - 6 * 5ˣ = -5
Пусть t = 5ˣ, тогда 
t² - 6t + 5 = 0
t = 1 или t = 5. 
Обратная замена: 
5ˣ = 1 или 5ˣ = 5, т. е. x = 0 или x = 1. 

ответ: 0; 1.