5.При каких значениях х четвертое слагаемое разложения (5 + 2x)^16
больше двух соседних с ним слагаемых?

Чтобы решить эту задачу, мы можем разложить выражение (5 + 2x)^16 при помощи биномиальной теоремы и найти четвертое слагаемое. Затем мы сравним его с двумя соседними слагаемыми.

Биномиальная теорема утверждает, что разложение выражения (a + b)^n можно найти по формуле:

(a + b)^n = C(n,0) * a^n * b^0 + C(n,1) * a^(n-1) * b^1 + C(n,2) * a^(n-2) * b^2 + ... + C(n,r) * a^(n-r) * b^r + ... + C(n,n) * a^0 * b^n

где C(n,r) - число сочетаний из n по r (также известное как биномиальный коэффициент), которое равно n! / (r! * (n-r)!), где "!" обозначает факториал.

В нашем случае, a = 5, b = 2x и n = 16. Мы ищем четвертое слагаемое, поэтому мы хотим найти слагаемое с индексом r = 3.

Теперь давайте посчитаем биномиальные коэффициенты для всех слагаемых в разложении:

C(16,0) = 1
C(16,1) = 16
C(16,2) = 120
C(16,3) = 560
C(16,4) = 1820
...
C(16,16) = 1

И вычислим все слагаемые:

C(16,0) * 5^16 * (2x)^0
C(16,1) * 5^15 * (2x)^1
C(16,2) * 5^14 * (2x)^2
C(16,3) * 5^13 * (2x)^3
C(16,4) * 5^12 * (2x)^4
...

Чтобы определить, когда четвертое слагаемое больше двух его соседних слагаемых, мы должны сравнить это слагаемое с предыдущим и следующим по индексу. В нашем случае, это будут слагаемые с индексами r = 2 и r = 4.

Подставим значения в формулу:

C(16,2) * 5^14 * (2x)^2 = 120 * 5^14 * (2x)^2
C(16,3) * 5^13 * (2x)^3 = 560 * 5^13 * (2x)^3
C(16,4) * 5^12 * (2x)^4 = 1820 * 5^12 * (2x)^4

Теперь посмотрим на условие задачи: когда четвертое слагаемое больше двух соседних с ним слагаемых.

Это значит, что нам нужно найти значения x, при которых:

120 * 5^14 * (2x)^2 > 560 * 5^13 * (2x)^3 и
120 * 5^14 * (2x)^2 > 1820 * 5^12 * (2x)^4

Теперь проведем некоторые алгебраические преобразования, чтобы упростить эти неравенства.

Перед тем, как упростить, мы можем заметить, что 5^14 появляется в обоих неравенствах. Мы можем сократить его с обеих сторон:

(2x)^2 > 560 * 5^13 * (2x)^3 / 120 и
(2x)^2 > 1820 * 5^12 * (2x)^4 / 120

Упростим оставшиеся неравенства:

(2x)^2 > 46 * 5^13 * (2x)^3 и
(2x)^2 > 151 * 5^12 * (2x)^4

Теперь мы можем сократить (2x)^2 с обеих сторон:

1 > 46 * 5^13 * 2x и
1 > 151 * 5^12 * (2x)^2

И наконец, делим обе стороны на константы:

1 / (46 * 5^13 * 2) > x и
1 / (151 * 5^12 * 4) > (2x)^2

Теперь мы можем вычислить значения x, удовлетворяющие этим неравенствам, и это будет ответом на задачу.