кто чем сможет Задача 1: 1

: 2
Все звенья десятизвенной ломаной
A
0
A
1
…
A
1
0
A
​0
​​ A
​1
​​ …A
​10
​​ имеют целочисленную длину, длина всей ломаной составляет
1
2
0
120 и никакие три вершины ломаной не лежат на одной прямой. Найдите наибольшую возможную длину ломаной
A
0
A
1
A
2
A
4
A
8
A
1
0
A
​0
​​ A
​1
​​ A
​2
​​ A
​4
​​ A
​8
​​ A
​10
​​ , если её звенья также целочисленны.

Пример записи ответа

17

Отправить
Задача 2: 2

: 3
Натуральные числа
a
a и
b
b таковы, что НОК
(
a
,
b
)
+
(a,b)+ НОД
(
a
,
b
)
=
3
a
+
7
b
(a,b)=3a+7b. Найдите наименьшее возможное значение числа
a
a.

Пример записи ответа:

17

Отправить
Задача 3: 3

: 3
Из числа, записанного на доске, вычитают его наибольшую цифру, после чего получившуюся разность записывают на доску вместо исходного числа. После
1
1
11 таких операций на доске оказалось число
1
0
0
100. Какое наибольшее число могло быть записано изначально?

Пример записи ответа:

17

Отправить
Задача 4: 4

: 3
По шоссе, представляющему из себя окружность, провели заезд
1
0
10 машин. Каждая из машин ехала с постоянной скоростью. Первая машина проехала ровно
1
1
11 кругов, вторая
−
− ровно
1
2
12, и так далее, последняя
−
− ровно
2
0
20. Каждая следующая машина проехала на один круг больше предыдущей. Стартовали и финишировали все машины одновременно в одной и той же точке.

К каждой точке, в которой хотя бы один раз произошёл обгон, поставили флажок. Сколько всего получилось флажков?

Пример записи ответа:

17

Отправить
Задача 5: 5

: 3
В некоторой стране
1
1
11 городов. Некоторые города были соединены двусторонними авиарейсами, не больше одного рейса между каждыми двумя городами. Из-за пандемии часть авиарейсов закрыли. После этого страна оказалась разделена на
5
5 частей, между которыми не существует авиарейсов.

Какое наибольшее число рейсов могло остаться?

Пример записи ответа:

17

Отправить
Задача 6: 6

: 3
График приведённого квадратного трёхчлена
f
(
x
)
f(x) касается прямой
y
=
x
y=x (то есть имеет с ней единственную общую точку). Кроме того, этот трёхчлен имеет единственный корень. Найдите этот корень.

Примеры записи ответа:

17

-1/7

1,7

1.7

Отправить
Задача 7: 7

: 3
Числа
p
⩽
q
⩽
r
p⩽q⩽r простые, и число
s
=
6
p
4
+
5
q
4
+
4
r
4
s=6p
​4
​​ +5q
​4
​​ +4r
​4
​​ тоже простое. Найдите наибольшее возможное значение
s
s.

Пример записи ответа:

17

Отправить
Задача 8: 8

: 3
Точки
A
A,
B
B,
C
C,
D
D,
E
E и
F
F лежат на окружности именно в таком порядке. Хорды
A
D
AD и
B
E
BE пересекаются в точке
X
X,
A
D
AD и
C
F
CF в точке
Y
Y,
B
E
BE и
C
F
CF в точке
Z
Z.
X
A
=
1
2
XA=12,
X
B
=
1
4
XB=14,
Y
C
=
2
2
YC=22,
Y
D
=
2
5
YD=25,
Z
E
=
2
0
ZE=20,
Z
F
=
1
5
ZF=15. Треугольник
X
Y
Z
XYZ равносторонний. Найдите его сторону.

Пример записи ответа:

17

Отправить
Задача 9: 9

: 4
На сторонах
A
D
AD и
B
C
BC параллелограмма
A
B
C
D
ABCD отмечены точки
E
E и
F
F соответственно. Отрезки
A
F
AF и
B
E
BE пересекаются в точке
K
K, а отрезки
D
F
DF и
C
E
CE в точке
M
M.
S
B
F
K
=
3
S
​BFK
​​ =3,
S
C
F
M
=
2
5
S
​CFM
​​ =25,
S
E
M
F
K
=
2
6
S
​EMFK
​​ =26. Найдите
S
C
M
D
S
​CMD
​​ .

Пример записи ответа:

17

Отправить
Задача 10: 10

: 5
У Вани есть четыре краски. Сколькими он может раскрасить вершины куба каждую в свой цвет, если у одной грани могут быть вершины максимум двух различных цветов? Все цвета использовать не обязательно, раскраски, отличающиеся поворотом или симметрией считаются разными.

Пример записи ответа: