A) Найти координаты точки М, если М1 М : М М2 = m:n b) Найти координаты точки М3, если М1 М3 = λ М1 М2
Дано:
М1 = (-5; 17;21), M2 = (4;5;1), m:n = 4:3 λ = -5

Для решения этой задачи, мы можем использовать формулу средней пропорции, которая поможет нам найти координаты точки М.

A) Найти координаты точки М, если М1 М : М М2 = m:n

Формула средней пропорции:
М М1 / М М2 = m / n,
где М - искомая точка М(x, y, z).

Мы знаем значения М1 = (-5, 17, 21), М2 = (4, 5, 1) и m:n = 4:3.

Подставим эти значения в формулу и найдем координаты точки М.

(x - (-5)) / (4 - x) = 4 / 3,
Домножим обе части уравнения на (4 - x) и 3:

3(x + 5) = 4(4 - x),
3x + 15 = 16 - 4x,
7x = 1,
x = 1 / 7.

Теперь найдем оставшиеся координаты точки М, подставив данное значение x в одно из исходных уравнений:

(y - 17) / (5 - y) = 4 / 3,
Умножим обе части уравнения на (5 - y) и 3:

3(y - 17) = 4(5 - y),
3y - 51 = 20 - 4y,
7y = 71,
y = 71 / 7,
y = 10.

Таким образом, у нас есть координаты точки М: М(1/7, 10, z).

B) Найти координаты точки М3, если М1 М3 = λ М1 М2

Мы знаем значения М1 = (-5, 17, 21), М2 = (4, 5, 1) и λ = -5.

Подставим эти значения в формулу и найдем координаты точки М3.

(x - (-5)) / (4 - x) = -5 / 1,
Домножим обе части уравнения на (4 - x) и 1:

(x + 5) = -5(4 - x),
x + 5 = -20 + 5x,
-4x = -25,
x = 25 / 4.

Теперь найдем оставшиеся координаты точки М3, подставив данное значение x в одно из исходных уравнений:

(y - 17) / (5 - y) = -5 / 1,
Умножим обе части уравнения на (5 - y) и 1:

(y - 17) = -5(5 - y),
y - 17 = -25 + 5y,
-4y = -8,
y = 8 / 4,
y = 2.

Таким образом, у нас есть координаты точки М3: М3(25/4, 2, z).

В обоих случаях координату z мы не знаем, так как она не задана в условии. Она может быть любым числом.

Ответ:
A) Координаты точки М: М(1/7, 10, z).
B) Координаты точки М3: М3(25/4, 2, z).