Цех допускает 30% брака. Найти вероятность того, что из 5 случайно взятых изделий бракованными окажутся: а) более трех; б) хотя бы одно; в) найти наивероятнейшее число бракованных изделий и соответствующую ему вероятность.

Объяснение:

1) проверим для n=3

2³=8 ; 2*3+1=7 ; 2³>2*3+1 верно (1)

2) предположим что неравенство верно при n=k (k>3) (2)

3) при n=k+1 проверим выполнение неравенства

2^(k+1)=2*2^k

2(k+1)+1=2k+3

по предположению (2)  2^k>2k+1

умножим обе части на 2

2*2^k>2(2k+1)=4k+2

2*2^k>4k+2

сравним 4k+2 и 2k+3  для этого определим знак их разности

4k+2 - (2k+3)=4k+2-2k-3=2k-3 так как k>3 то 2k>2*3=6

2k>6 и тем более 2k>3 ⇒ 2k-3>0 ⇒ 4k+2 - (2k+3)>0 ⇒ 4k+2 > (2k+3)  

так как 2^(k+1)>4+2k  и 4+2k>2k+3 и 2k+3=2(k+1)+1

то   2^(k+1)> 2(k+1)+1  то есть неравенство выполняется для n=k+1    (3)

из (1); (2); (3) ⇒ неравенство верно для любого n>3

Сначала упростим. Как видно из тригонометрического круга, который я приложила к ответу,  7π/2 - это 3π+π/2 или 2π+π+π/2
2π-совпадает с углом "0", поэтому его смело можно им заменить, т.е.:
2π+π+π/2=0+π+π/2=π+π/2.
Получаем выражение:
20cos(7π/2+a)=20cos(π+π/2+a)=20cos(π+(π/2+a)).

Примечание:
Если мы к углам пи или 2пи прибавляем (или отнимаем) какой-то угол, то тригонометрическая функция не меняется (косинус остаётся косинусом, а синус-синусом), а если мы прибавляем (или отнимаем) какой-то угол от углов пи/2 или 3пи/2, то косинус меняется на синус, к примеру:cos(пи/2 + 30°)=косинус во второй четверти меньше нуля-ставим минус и угол пи/2 - поэтому косинус меняем на синус= -sin30°.

В нашем случае прибавляемый угол = π/2+a

Воспользуемся вышеописанными правилами:
20cos(π+(π/2+a)) 
Как видно из тригонометрического круга, если к пи прибавлять какой-либо угол, то он будет находиться в 3 четверти, где косинус отрицательный, поэтому ставим минус перед нашим выражением. Из примечания также следует:
20cos(π+(π/2+a)) = -20cos(π/2+a)

Теперь разложим косинус как косинус суммы:
cos(x+y)=cosx*cosy-sinx*siny

Применим данную формулу для нашего случая:
-20cos(π/2+a)=-20*(сosπ/2*cosa-sinπ/2*sina)
Опять же из тригонометрического гура видно, что косинус π/2 = 0, поэтому первое слагаемое превращается в ноль, а sinπ/2=1. В связи с этим запишем:
-20*(сosπ/2*cosa-sinπ/2*sina)=-20(0-1*sina)=-20*(-sina)=20sina.

Мы знаем, что cosa=-7/25. Из тригонометрической единицы
(cos²а+sin²а=1) Найдём sina:sin²а=1-cos²а=1-(-7/25)²=1-49/625=625/625 - 49/625 = (625-49)*625=576/625
значит sina=√(576/625)=24/25.

В итоге получим:
20sina=20*24/25=4*24/5=19,2-это и будет ответ.