(желательно в письменном виде)

1. a) |x - 1| + 2|x - 3| = 5 - x
Если x < 1, то |x - 1| = 1 - x, |x - 3| = 3 - x
1 - x + 2(3 - x) = 5 - x
1 - x + 6 - 2x = 5 - x
1 + 6 - 5 = x + 2x - x
2x = 2; x = 1 - не подходит, потому что x < 1
Если x ∈ [1; 3), то |x - 1| = x - 1; |x - 3| = 3 - x
x - 1 + 2(3 - x) = 5 - x
x - 1 + 6 - 2x = 5 - x
5 - x = 5 - x
Это верно при любом x ∈ [1; 3)
Если x >= 3, то |x - 1| = x - 1; |x - 3| = x - 3
x - 1 + 2(x - 3) = 5 - x
x - 1 + 2x - 6 = 5 - x
3x + x = 5 + 6 + 1
4x = 12
x = 3
ответ: x ∈ [1; 3]

b) |x - 1| = x^3 - 3x^2 + x + 1
Если x < 1, то |x - 1| = 1 - x
1 - x = x^3 - 3x^2 + x + 1
0 = x^3 - 3x^2 + 2x
x(x - 1)(x - 2) = 0
x1 = 0 < 1 - подходит
x2 = 1; x3 = 2 > 1 - оба не подходят.
Если x >= 1, то |x - 1| = x - 1
x - 1 = x^3 - 3x^2 + x + 1
0 = x^3 - 3x^2 + 2
x^3 - x^2 - 2x^2 + 2x - 2x + 2 = 0
(x - 1)(x^2 -2x - 2) = 0
x1 = 1 - подходит.
x^2 - 2x - 2 = 0
D = 2^2 - 4*(-2) = 4 + 8 = 12 = (2√3)^2
x2 = (2 - 2√3)/2 = 1 - √3 < 1 - не подходит
x3 = (2 + 2√3)/2 = 1 + √2 > 1 - подходит
ответ: x1 = 0; x2 = 1; x3 = 1 + √2

2. (|x - 3|) / (|x - 2| - 1) >= 1
Если x < 2, то |x - 2| = 2 - x; |x - 3| = 3 - x
(3 - x) / (2 - x - 1) >= 1
(3 - x) / (1 - x) = (x - 3) / (x - 1) >= 1
(x - 3 - x + 1) / (x - 1) = (-2) / (x - 1) >= 0
x - 1 < 0; x < 1 - это решение
Если x ∈ [2; 3), то |x - 2| = x - 2; |x - 3| = 3 - x
(3 - x) / (x - 2 - 1) = (3 - x) / (x - 3) = -1 >= 1 - неверно
x ∈ ∅
Если x >= 3, то |x - 2| = x - 2; |x - 3| = x - 3
(x - 3) / (x - 2 - 1) = (x - 3) / (x - 3) = 1 - это верно при любом x ≠ 3
x > 3 - это решение.
ответ: x ∈ (-oo; 1) U (3; +oo)

в) Две параболы, у=х² классического вида, вторая    у=х²+10х+21,

со смещённым центром, координаты вершины этой параболы: (-5; -4)

х₀=-b/2a = -10/2 = -5

y₀=(-5)²+10*-5+21=25-50+21=-4

у=х²        Дополнительные точки для построения:

х=0    у=0     (0; 0)

х=1     у=1        (1; 1)

х=2    у=4       (2;4)

х=3    у=9       (3; 9)

х=-1     у=1       (-1; 1)

х=-2    у=4      (-2; 4)

х=-3    у=9      (-3; 9)

Для построения графика функции у=х²+10х+21 нужны нули функции, точки, в которых парабола пересекает ось Х, т.к ветви её направлены вверх:

х₁,₂=(-10±√100-84)/2

х₁,₂=(-10±√16)/2

х₁,₂=(-10±4)/2

х₁= -7          (-7; 0)

х₂= -3         (-3; 0)

у=х²+10х+21      Дополнительные точки для построения:

х=-2    у=5       (-2; 5)

х=-4     у=-3      (-4; -3)

х=-6     у=-3      (-6; -3)

х=-8    у=5       (-8; 5)

г)Две параболы, у=х² классического вида, вторая    у=х²-12х+33,

со смещённым центром, координаты вершины этой параболы: (6; -3)

х₀=-b/2a = 12/2 = 6

y₀=6²-12*6+33=36-72+33=-3

у=х² строится по тем же точкам, что в задании в)

Для построения графика функции у=х²-12х+33 нужны нули функции, точки, в которых парабола пересекает ось Х, т.к ветви её направлены вверх:

х₁,₂=(12±√144-132)/2

х₁,₂=(12±√12)/2

х₁,₂=(12±3,5)/2

х₁= 4,3          (4,3; 0)

х₂= 7,75        (7,75; 0)

у=х²-12х+33     Дополнительные точки для построения:

х=3    у=6       (3; 6)

х=4     у=1       (4; 1)

х=5    у=-2      (5; -2)

х=7    у=-2       (7; -2)

х=8     у=1         (8; 1)

х=9    у=6         (9; 6)

в) у=1/x       y=1/(x-5)+3    Графики гипербол:

у=1/x                 Точки для построения:

х=-7    у=-0,1          (-7; -0,1)

х=-5    у=-0,2         (-5; -0,2)

х=-3    у=-0,3         (-3; -0,3)

х=-2    у=-0,5         (-2; -0,5)

х=-1    у=-1                (-1; -1)

х=1    у=1                    (1; 1)

х=3    у=0,3              (3; 0,3)

х=5    у=0,2              (5; 0,2)

y=1/(x-5)+3         Точки для построения:

х=-7    у=2,9          (-7; 2,9)

х=-5    у=2,9         (-5; 2,9)

х=-3    у=2,9         (-3; 2,9)

х=0    у=2,8           (0; 2,8)

х=1    у=2,8             (1; 2,8)

х=3    у=2,5             (3; 2,5)

х=4    у=2                 (4; 2)

х=5      -                    (5; - )