Найти логарифмы чисел по заданному основанию a:
27, 1/3, 1/9, 81, а=3

Очень просто. Обозначим катеты как a и b. По теореме Пифагора a^2 + b^2 = 15^2 = 225. Как известно, площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов: a*b*0.5 = 54. Составляем систему из этих двух уравнений. Решаем подстановкой, допустим, возьмем катет a: a = 54/(0.5*b) = 54*2/b = 108/b. Далее подставляем в первое уравнение. Только не пугайся, числа большие: (108/b)^2 + b^2 = 225; 11664/b^2 + b^2 = 225. Умножаем обе части на b (в этом отношении мы можем делать что угодно, ведь длина катета - величина положительная) : 11664 + b^4 = 225*b^2. Переносим все в левую часть: b^4 - 225*b^2 + 11664 = 0. Заменим b^2 на x, тогда b^4 = x^2: x^2 - 225x +11664 = 0. Решаем квадратное уравнение: дискриминант равен (-225)^2 - 4*1*11664 = 50625 - 46656 = 3969 = 63^2. Далее находим корни: x1 = (-(-225) - 63)/2*1 = (225-63)/2 = 162/2 = 81. Т. е. x1 = 81, а значит b1 = корень квадратный из 81 = 9 (помним: длина катета - величина положительная) . Т. е. один катет мы уже нашли - он равен 9 см. Второй корень уравнения лучше не искать, второй катет можно найти из подстановки a = 108/b = 108/9 = 12. Все. Мы нашли катеты, они равны 9 см и 12 см соответственно. Задача решена. Можно сделать проверку: площадь равна 0.5*a*b = 0.5*12*9 = 54 см^2.

1.

а)

х²/(х²-у²) * (х-у)/х = х²/(х-у)(х+у) * (х-у)/х = х/(х+у),

б)

а/(3а+3в) : а²/(а²-в²) = а/(3*(а+в)) : а²/(а-в)(а+в) =

= а/(3*(а+в)) * (а-в)(а+в)/а² = (а-в)/3а,

в)

(-2с³/у)⁵ = -32с¹⁵/у⁵

г)

х/у² * 4ху = 4х²/у

2.

( у/(у-х) - (у-х)/у ) * (у-х)/х =

= ( у² - (у-х)²) / (у-х)у ) * (у-х)/х =

= ( у²-у²+2ху-х² ) / (у-х)у ) * (у-х)/х =

= х(2у-х) / (у-х)у ) * (у-х)/х = (2у-х) / у,

3.

(2х-4)/(х²+12х+36) : (8х-16)/(х²-36) =

= 2*(х-2)/(х+6)²  :  8*(х-2)/(х-6)(х+6) =

= 2*(х-2)/(х+6)²  :  (х-6)(х+6)/8*(х-2) =

= (х-6) / 2*(х+6),

при х = 1,5:  

(1,5-6) / 2*(1,5+6) = -4,5 / (2*7,5) = -4,5 / 15 = -3/10  (или  -0,3)

4.

( а-8 + 32а/(а-8) ) * ( 8+а - 32а/(8+а) ) =

= [ ( (а-8)²+32а )/(а - 8) ]   *  [ ( (8+а)²-32а)/(8+а) ] =

= (а²-16а+64+32а)/(а-8)  *  (64+16а+а²-32а)/(8+а) =

= (а²+16а+64)/(а-8)  *  (а²-16а+64)/(8+а) =

=  (а+8)²/(а-8)  *  (а-8)²/(8+а) =

= (а + 8)(а - 8) = а² - 64

рукописный вариант:

⇅⇅⇅⇅