Любое простое число, кроме 2, является нечётным.
Если z = 2, то либо x = 1, либо y = 0. Оба из этих чисел не являются простыми. Значит, z ≠ 2.
Если z — число нечётное, то 
— чётное. Учитывая, что x и y — простые числа, x может быть равен только 2, иначе это будет нечётным числом.
Попробуем поперебирать значения y:
2² + 1 = 5 — подходит,
2³ + 1 = 9 — не подходит,
2⁵ + 1 = 33 — не подходит,
2⁷ + 1 = 129 — не подходит...
Можно заметить, что при нечётных y z делится на 3. Всегда ли выполняется это условие?
Множество нечётных чисел включает в себя множество простых чисел (за исключением 2). Если 
, то и для простых чисел, кроме 2, это тоже справедливо.
Докажем это методом математической индукции:
1. При k = 1 утверждение верно (см. перебор, второе равенство).
2. Пусть 
— верно.
3. 
Значит, 2 в любой нечётной степени (даже 2¹, которое мы упустили из доказательства) при делении на 3 даёт остаток 2. Отсюда справедливо выражение . Значит, z при всех простых y, отличных от 2, делится на 3, то есть не является простым числом. Отсюда получаем единственное найденное решение: x = 2, y = 2, z = 5.
ответ: (2; 2; 5)
