за интересную задачу)
Тут все просто: координаты вершины параболы находим через производную данной функции, счтая К числом.
у = x^2 - 2*2013Kx + (2013K)^2 + 2K + 15
y' = 2x - 2*2013K (все остальное - число, производная равна нулю)
Приравнивая к нулю, поллучаем выражение для абсциссы вершины параболы: х = 2013К
Ордината равна у = 2К + 15
По условию х = 2013К < 0
у = 2К + 15 > 0
Отсюда К принадлежит отрезку от - 7,5 до 0. Следовательно, целых значений К, удовлетворяющих условию, всего 7: это - 7, -6, -5, -4,-3, -2, -1.
ответ: 7
Вспомним формулу корней. У нее в знаменателе 2a. А у нас 2. Тогда хорошо бы было, если a=1.
Дальше, запишем наш корень так: 
. Опять же, глядя на формулу, хорошо будет, если b=1. Теперь подберем последний коэффициент c так, чтобы дискриминант был равен числу 3. Коэффициенты a и b известны, поэтому запишем формулу дискриминанта: 
Не получилось немного.. коэффициент у нас не целый-то! Но насчет квадратного уравнения хорошо то, что если мы умножим все члены на любое отличное от нуля число, то корни не изменятся.
Из 
мы получаем равносильное относительно корней 
Теперь все коэффициенты целые!
