1. Найдите корни уравнения: 6cos²х+cosх−1=0

все значения х , при которых значения выражений корень из (4-х) , корень из (2х-2) , 4 являются тремя последовательными членами геометрической прогрессии

а)
√(4-x) ,  √(2x-2) , 4  являются   последовательными членами геометрической прогрессии   
 ... a_(n) , a_(n+1) ,a_(n+2 ) ...
a_(n+1)² =a_(n)*a_(n+2) _характеристическое свойство геометрической прогрессии .
{ 4-x >0 ; 2x-2 >0  ; (√(2x-2) )² = 4*√(4-x) .⇔{ 1 < x < 4  ; 2x -2 = 4*√(4-x) . ⇔ {  x∈ (1 ; 4)   ;  x -1 = 2*√(4-x) . ⇔ { x∈ (1 ; 4)  ;  (x -1)² = 4*(4-x) .
(x -1)² = 4*(4-x) ;
x² -2x +1 = 16 - 4x ;
x² +2x - 15 =0 ;  * * *  x = -1±√(1+15)   * * *
x₁ = -1 - 4 = -5  ∉ (1,4)  ;
x₂ = -1+4 =  3 .      * * * √(4-x) =1 ,  √(2x-2) =2  , 4   * * *

ответ : 3     

б)  
...√(2x-2)  , √(4-x) ,  4 ...
(√(4-x) )² =4√(2x-2)  ;
4 - x  = 4√(2x-2) ;
16 -8x +x² =16(2x-2) ;
x² - 40x +48 =0 ;
x =20 ±√(20² -48) ;
x =20 ±4√22  ;
x₁ =20 + 4√22   ∉ (1,4)  ;
x₂ = 20 -  4√22 ≈ 1,24 . 

ответ : 4(5  -√22 ).    

в)  
...√(2x-2)  , 4  ,  √(4-x)...  * * * или ...√(4-x) , 4  , .√(2x-2) ...
4² = √(2x-2) *√(4-x) ⇔ 16 = -2x² +10x  -8 ⇔ 2x² -10x  +24 =0 ⇔ x² -5x  +12 =0 
D =5² -4*12 =25 -48 = -23 <0 _не имеет действительных корней.

Решение:
Дано:
b1=x-7
b2=x+5
b3=3x+5
Найдём значение (q), так как согласно определения геометрической прогрессии,:
q=b2/b1
q=b3/b2
Отсюда:
q=(x+5)/(x-7)
q=(3x+5)/(x+5)    приравняем эти выражения:
(х+5)/(х-7)=(3х+5)/(х+5)
(х+5)(х+5)=(х-7)(3х+5)
х^2+10x+25=3x^2-21x+5x-35
x^2+10x+25-3x^2+21x-5x+35=0
-2x^2+26x+60=0  (сократим уравнение на -2)
x^2-13x-30=0
x1,2=(13+-D)/2*1
D=√(13²-4*1*-30)=√(169+120)=√289=17
x1,2=(13+-17)/2
х1=(13+17)/2
х1=15
х2=(13-17)/2=-2

ответ: В данном случае при х1=15 или х2=-2, данная последовательность будет являться геометрической прогрессией.