[tex] \sin(2x) + \sin {}^{2} (x) < 1[tex]

Умножим и числитель и знаменатель на (2+√х+1), а так же х²-9 разложим на (х-3)(х+3), получим
=((х-3)(х+3)(2+√х+1))/((2-√х+1)(2+√х+1))=
зная, что (а-ь)(а+ь)= а²- ь²      в знаменателе произведение заменим
на 2²-(√х+1)² = 4-х-1= 3-х,  а  в  числителе, чтобы в первой скобке было 
3-х из первой скобки вынесем  знак " минус" , тогда в числителе станет
 -(3-х)(х+3)(2+√х+1), теперь запишем все, что тут говорили в виде дроби
=-(3-х)(х+3)(2+√х+1)/(3-х) = сократим в числителе и знаменателе (3-х) 
=-(х+3)(2+√х+1)

(2x²+5x+3)/(2x+3)=x²-x-2

разложим первую скобку на множители (можно по теореме виета, а можно через дискриминант и корни кв.уравнения):

2х²+5х+3 = (2х+3)*(х+1) тогда изначальное уравнение принимает вид:

(2х+3)*(х+1) / (2x+3)=x²-x-2

учитываем, что х не может быть равно -3/2 (деление на 0) ,

и сокращаем на 2х+3:

х+1 = x²-x-2 =(х+1)*(х-2)

отсюда получим два уравнения для двух корней: х+1 = 0 и х-2 = 1

т.е. один корень: х1=-1, второй: х2=3

проверяем, нет ли "запрещенных корней: -3/2 - их нет, значит,

ответ: два корня уравнения: х1=-1,  х2=3