Рассмотрим последние цифры степеней чисел 3 и 7 (очевидно, степени чисел 33 и 77 оканчиваются на те же цифры; в таблице последняя цифра числа x обозначена как x mod 10):
Дальше таблицу можно не продолжать: поскольку последняя цифра степени определяется только последней цифрой предыдущей степени, то дальше всё будет повторяться: например, для степеней тройки дальше идут 3, 9, 7, 1, 3, 9, ... Таким образом, последовательность последних цифр степеней тройки и семёрки является периодической с периодом 4, то есть прибавление любого количества четвёрок к показателю степени последнюю цифру не меняет.
, поэтому 
оканчивается на ту же цифру, что и 
, то есть на 3. 
, поэтому 
оканчивается на ту же цифру, что и 
, то есть на 7. Значит, сумма 
оканчивается на ту же цифру, что и 
, то есть на 0. Искомый остаток равен нулю.
ответ. 0
4x^4+x-3=0
пусть у=(х+1)
4*(y-1)^4+y-4=0
4*((y-1)^4-1)+y=0
4*((y-1)^2-1)(y-1)^2+1)+y=0
4*y*(y-2)*((y-1)^2+1)+y=0
Один корень у=0 (х=-1)
иначе 4(у-2)*((y-1)^2+1)=-1
Вернемся к исходным обозначениям
(1-х)(x^2+1)=1/4
кубическое уравнение. один действительный корень (примерно 0,8556). В школе такие не решают. Хотел убрать решение, но оставил. Может пригодится.
Теперь вижу, что Вы в комментарии исправили условие .
4x^4+x^2-3=0
Тогда все просто у=х^2
4y^2+y-3=0
По теореме Виета:
корни у=-1 и у=3/4
Нас интересует только неотрицательный корень
у=3/4. Два решения х=sqrt(3)/2 или х=-sqrt(3)/2
