y= -x² + 4x - 3
Объяснение:
Построить график функции, это парабола cо смещённым центром, ветви параболы направлены вниз.
а)найти координаты вершины параболы:
х₀ = -b/2a = -4/-2 = 2
y₀ = -(2)²+4*2-3 = -4+8-3 = 1
Координаты вершины (2; 1)
б)Ось симметрии = -b/2a X = -4/-2 = 2
в)найти точки пересечения параболы с осью Х, нули функции:
y= -x²+ 4x - 3
-x²+ 4x - 3=0
x²- 4x + 3=0, квадратное уравнение, ищем корни:
х₁,₂ = (4±√16-12)/2
х₁,₂ = (4±√4)/2
х₁,₂ = (4±2)/2
х₁ = 1
х₂ = 3
Координаты нулей функции (1; 0) (3; 0)
г)Найти точки пересечения графика функции с осью ОУ.
Нужно придать х значение 0: у= -0+0-3=-3
Также такой точкой является свободный член уравнения c, = -3
Координата точки пересечения (0; -3)
д)для построения графика нужно найти ещё несколько
дополнительных точек:
х=-1 у= -8 (-1; -8)
х= 0 у= -3 (0; -3)
х=4 у= -3 (4;-3)
х= 5 у= -8 (5;-8)
Координаты вершины параболы (2; 1)
Координаты точек пересечения параболы с осью Х: (1; 0) (3; 0)
Координаты дополнительных точек: (-1; -8) (0; -3) (4;-3) (5;-8)
e)В первой, третьей и четвёртой четвертях.
Тангенс угла наклона касательной равен производной в точке касания к графику функции.
tgα = y'(x).
1) y = 0,2x^2 + 2x - 4, A(2; 0,8).
Проверяем - принадлежит ли точка данной функции.
0,2*2² + 2*2 - 4 = 0,8. Да, принадлежит.
Находим производную: y' = 0,2*2x + 2.
y'(2) = 0,2*2*2 + 2 = 2,8.
ответ: tgα = 2,8.
2) y = -3x^2 - x + 5, А(-2; -5).
Аналогично проверяем - точка А на кривой (парабола).
y' = -6x - 1,
y'(-2) = -6*(-2) - 1 = 12 - 1 = 11.
ответ: tgα = 11.
3) y = (x^2 - 1)/(x - 5), A(3; 3 2/3). (Ели так дано задание)
В этой задаче сложное решение, так как точка А не лежит на кривой.
Производная : y' = (2x(x - 5) - 1*(x^2 - 1))/(x - 5)^2) = (x^2 - 10x + 1)/((x - 5)^2).
Производная в точке касания хо: (xо^2 - 10xо + 1)/((xо- 5)^2).
Получим уравнение касательной проходящей через точку A(3;3 2/3):
3 2/3 = ((xо^2 - 10xо + 1)/((xо- 5)^2))(3 - хо) + ((xо^2 - 1)/(xо - 5)).
Решение затруднено, так функция - кубическая.
Ориентировочно решение найдено графически в программе ГеоГебра: у = -18,76х + 59,95.
График приведен во вложении.
